Matemática básica Ejemplos

$\frac{z}{z^{2} - 4} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{z}{z^{2} - 2^{2}} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = z$ y $b = 2$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 z - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Paso 1.2

Factoriza $4$ de $4 z - 4$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $4$ de $4 z$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) - 4}{z^{2} + 6 z + 8}$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z) + 4 (- 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Paso 1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (z) + 4 (- 1)$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{z^{2} + 6 z + 8}$

Paso 1.3

Factoriza $z^{2} + 6 z + 8$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $6$ .

$2, 4$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z}{(z + 2) (z - 2)} \cdot \frac{z + 4}{z + 4} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{z}{(z + 2) (z - 2)}$ por $\frac{z + 4}{z + 4}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)} \cdot \frac{z - 2}{z - 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{4 (z - 1)}{(z + 2) (z + 4)}$ por $\frac{z - 2}{z - 2}$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z - 2) (z + 4)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(z + 2) (z - 2) (z + 4)$ .

$\frac{z (z + 4)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)} - \frac{4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{z (z + 4) - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z \cdot z + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + z \cdot 4 - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.3

Mueve $4$ a la izquierda de $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 \cdot z - 4 (z - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z - 4 \cdot - 1) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{z^{2} + 4 z + (- 4 z + 4) (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.6

Expande $(- 4 z + 4) (z - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z (z - 2) + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 (z - 2)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z \cdot z - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.7.1.1

Multiplica $z$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1.1.1

Mueve $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 (z \cdot z) - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.7.1.1.2

Multiplica $z$ por $z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} - 4 z \cdot - 2 + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.7.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z + 4 \cdot - 2}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.7.1.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 8 z + 4 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.7.2

Suma $8 z$ y $4 z$ .

$\frac{z^{2} + 4 z - 4 z^{2} + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.8

Resta $4 z^{2}$ de $z^{2}$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 4 z + 12 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 6.9

Suma $4 z$ y $12 z$ .

$\frac{- 3 z^{2} + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- 3 z^{2}$ .

$\frac{- (3 z^{2}) + 16 z - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 7.2

Factoriza $- 1$ de $16 z$ .

$\frac{- (3 z^{2}) - (- 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (3 z^{2}) - (- 16 z)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 7.4

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 7.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 z^{2} - 16 z) - 1 (8)$ .

$\frac{- (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 7.6

Simplifica la expresión.

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Paso 7.6.1

Reescribe $- (3 z^{2} - 16 z + 8)$ como $- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)$ .

$\frac{- 1 (3 z^{2} - 16 z + 8)}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$

Paso 7.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3 z^{2} - 16 z + 8}{(z + 2) (z + 4) (z - 2)}$