Matemática básica Ejemplos

$8 \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$8 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$8 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$8 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.7.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.7.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$8 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.1.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$4 (2) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$4 \cdot 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 \sqrt{6} + 2 (- \sqrt{2})) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{12}) - 1$

Paso 1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) - 1$

Paso 1.5.2

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Paso 1.5.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Paso 1.5.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Paso 1.5.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) - 1$

Paso 1.5.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Paso 1.5.7

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.7.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.7.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Paso 1.5.7.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Paso 1.5.7.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Paso 1.5.7.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - 1$

Paso 1.5.7.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.7.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - 1$

Paso 1.5.7.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - 1$

Paso 1.5.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{6}$ .

$2 (\sqrt{6}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.7.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (\sqrt{6}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 (2)} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.7.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{6} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.8

Combina $\sqrt{6}$ y $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - 2 \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.9

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.9.1

Factoriza $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - 1$

Paso 1.9.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 (2)} - 1$

Paso 1.9.3

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} + 2 (- \sqrt{2}) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - 1$

Paso 1.9.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - \sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.10

Combina $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ y $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.4.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{6 + \sqrt{6 \cdot 2} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.4.4

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{6 + \sqrt{12} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.4.5

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.4.5.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 + \sqrt{4 (3)} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.4.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.4.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} + (- \sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.7

Multiplica $- \sqrt{6} \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.7.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2 \cdot 6} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.7.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.8

Multiplica $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.8.1

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} - 1$

Paso 1.12.8.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} - 1$

Paso 1.12.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - 1$

Paso 1.12.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.9.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.9.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.9.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.12.9.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{2} - 1$

Paso 1.12.9.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{2} - 1$

Paso 1.12.9.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{2} - 1$

Paso 1.13

Resta $2$ de $6$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2} - 1$

Paso 1.14

Resta $2 \sqrt{3}$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 0}{2} - 1$

Paso 1.15

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{4}{2} - 1$

Paso 1.16

Divide $4$ por $2$ .

$2 - 1$

Paso 2

Resta $1$ de $2$ .

$1$