Matemática básica Ejemplos

$9 y^{2} + 3 y - 1 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 9$ , $b = 3$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 1)}}{2 \cdot 9}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.1.3

Suma $9$ y $36$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{6}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.3

Suma $9$ y $36$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 9}$

Paso 4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 9}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{6}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{6}$

Paso 4.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{5}}{6}$

Paso 4.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{5}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{5})}{6}$

Paso 4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - \sqrt{5})}{6}$

Paso 4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1 - \sqrt{5}}{6}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 1$ .

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Paso 5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot - 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.1.3

Suma $9$ y $36$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.1.4

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.1.4.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.1.4.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot 9}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$y = \frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 3 \pm 3 \sqrt{5}}{18}$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{6}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{6}$

Paso 5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{5}}{6}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{5}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{5})}{6}$

Paso 5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{5})$ .

$y = \frac{- 1 (1 + \sqrt{5})}{6}$

Paso 5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{1 - \sqrt{5}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \frac{1 - \sqrt{5}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{6}$

Forma decimal:

$y = 0.20601132 \dots, - 0.53934466 \dots$