Matemática básica Ejemplos

${(\sqrt{5} + 4 \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(\sqrt{5} + 4 \sqrt{3})}^{2}$ como $(\sqrt{5} + 4 \sqrt{3}) (\sqrt{5} + 4 \sqrt{3})$ .

$(\sqrt{5} + 4 \sqrt{3}) (\sqrt{5} + 4 \sqrt{3})$

Paso 2

Expande $(\sqrt{5} + 4 \sqrt{3}) (\sqrt{5} + 4 \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{5} (\sqrt{5} + 4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (\sqrt{5} + 4 \sqrt{3})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} (\sqrt{5} + 4 \sqrt{3})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{5} \sqrt{5} + \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{5 \cdot 5} + \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\sqrt{25} + \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}} + \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$5 + \sqrt{5} (4 \sqrt{3}) + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.5

Multiplica $\sqrt{5} (4 \sqrt{3})$ .

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Paso 3.1.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$5 + 4 \sqrt{5 \cdot 3} + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{3} \sqrt{5} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.6

Multiplica $4 \sqrt{3} \sqrt{5}$ .

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Paso 3.1.6.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{5 \cdot 3} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.6.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$

Paso 3.1.7

Multiplica $4 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})$ .

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Paso 3.1.7.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 3.1.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 3.1.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 3.1.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 3.1.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 3.1.8

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 \cdot 3^{1}$

Paso 3.1.8.5

Evalúa el exponente.

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 16 \cdot 3$

Paso 3.1.9

Multiplica $16$ por $3$ .

$5 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15} + 48$

Paso 3.2

Suma $5$ y $48$ .

$53 + 4 \sqrt{15} + 4 \sqrt{15}$

Paso 3.3

Suma $4 \sqrt{15}$ y $4 \sqrt{15}$ .

$53 + 8 \sqrt{15}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$53 + 8 \sqrt{15}$

Forma decimal:

$83.98386676 \dots$