Matemática básica Ejemplos

$\frac{4 r^{2} + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $2 r$ de $4 r^{2} + 10 r$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $2 r$ de $4 r^{2}$ .

$\frac{2 r (2 r) + 10 r}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1.1.2

Factoriza $2 r$ de $10 r$ .

$\frac{2 r (2 r) + 2 r (5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1.1.3

Factoriza $2 r$ de $2 r (2 r) + 2 r (5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1.2

Factoriza $4$ de $4 r - 16$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $4$ de $4 r$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r) - 16}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 r + 4 \cdot - 4}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1.2.3

Factoriza $4$ de $4 r + 4 \cdot - 4$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1.3

Reduce la expresión $\frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4 (r - 4)}{(r - 4) (r + 5)}$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(r - 4) (r + 5), 1, r + 5$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $r - 4$ es $r - 4$ en sí mismo.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $r + 5$ es $r + 5$ en sí mismo.

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El MCM de $r - 4, r + 5, r + 5$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(r - 4) (r + 5)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ por $(r - 4) (r + 5)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} - 2 = \frac{4}{r + 5}$ por $(r - 4) (r + 5)$ .

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $(r - 4) (r + 5)$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 r (2 r + 5)}{(r - 4) (r + 5)} ((r - 4) (r + 5)) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 r (2 r + 5) - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 r (2 r) + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot 5 - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$2 \cdot 2 r \cdot r + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.5.1.1

Mueve $r$ .

$2 \cdot 2 (r \cdot r) + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.5.1.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$2 \cdot 2 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 ((r - 4) (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.6

Expande $(r - 4) (r + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r (r + 5) - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 (r + 5)) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r \cdot r + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.7.1.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r \cdot 5 - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.7.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 \cdot r - 4 r - 4 \cdot 5) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.7.1.3

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + 5 r - 4 r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.7.2

Resta $4 r$ de $5 r$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 (r^{2} + r - 20) = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r - 2 \cdot - 20 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.1.9

Multiplica $- 2$ por $- 20$ .

$4 r^{2} + 10 r - 2 r^{2} - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Resta $2 r^{2}$ de $4 r^{2}$ .

$2 r^{2} + 10 r - 2 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.2.2.2

Resta $2 r$ de $10 r$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r - 4) (r + 5))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $r + 5$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $r + 5$ de $(r - 4) (r + 5)$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = \frac{4}{r + 5} ((r + 5) (r - 4))$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 (r - 4)$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r + 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$2 r^{2} + 8 r + 40 = 4 r - 16$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $r$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $4 r$ de ambos lados de la ecuación.

$2 r^{2} + 8 r + 40 - 4 r = - 16$

Paso 4.1.2

Resta $4 r$ de $8 r$ .

$2 r^{2} + 4 r + 40 = - 16$

Paso 4.2

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$2 r^{2} + 4 r + 40 + 16 = 0$

Paso 4.3

Suma $40$ y $16$ .

$2 r^{2} + 4 r + 56 = 0$

Paso 4.4

Factoriza $2$ de $2 r^{2} + 4 r + 56$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $2$ de $2 r^{2}$ .

$2 (r^{2}) + 4 r + 56 = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza $2$ de $4 r$ .

$2 (r^{2}) + 2 (2 r) + 56 = 0$

Paso 4.4.3

Factoriza $2$ de $56$ .

$2 r^{2} + 2 (2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Paso 4.4.4

Factoriza $2$ de $2 r^{2} + 2 (2 r)$ .

$2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28 = 0$

Paso 4.4.5

Factoriza $2$ de $2 (r^{2} + 2 r) + 2 \cdot 28$ .

$2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$

Paso 4.5

Divide cada término en $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $2 (r^{2} + 2 r + 28) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (r^{2} + 2 r + 28)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 4.5.2.1.2

Divide $r^{2} + 2 r + 28$ por $1$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = \frac{0}{2}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$r^{2} + 2 r + 28 = 0$

Paso 4.6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.7

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 28$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 28)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8

Simplifica.

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Paso 4.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 28$ .

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Paso 4.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $28$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 112}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.3

Resta $112$ de $4$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.4

Reescribe $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.7

Reescribe $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.8.1.7.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.7.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 2 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.1.9

Mueve $6$ a la izquierda de $i$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.8.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$r = - 1 \pm 3 i \sqrt{3}$

Paso 4.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - 1 + 3 i \sqrt{3}, - 1 - 3 i \sqrt{3}$