Matemática básica Ejemplos

${(\frac{1}{4})}^{y + 2} = \sqrt[3]{8^{2 y - 1}}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt[3]{8^{2 y - 1}} = {(\frac{1}{4})}^{y + 2}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{8^{2 y - 1}}}^{3} = {({(\frac{1}{4})}^{y + 2})}^{3}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{8^{2 y - 1}}$ como $8^{\frac{2 y - 1}{3}}$ .

${(8^{\frac{2 y - 1}{3}})}^{3} = {({(\frac{1}{4})}^{y + 2})}^{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(8^{\frac{2 y - 1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{\frac{2 y - 1}{3} \cdot 3} = {({(\frac{1}{4})}^{y + 2})}^{3}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$8^{\frac{2 y - 1}{3} \cdot 3} = {({(\frac{1}{4})}^{y + 2})}^{3}$

Paso 3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$8^{2 y - 1} = {({(\frac{1}{4})}^{y + 2})}^{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(\frac{1}{4})}^{y + 2})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$8^{2 y - 1} = {(\frac{1^{y + 2}}{4^{y + 2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8^{2 y - 1} = {(\frac{1}{4^{y + 2}})}^{3}$

Paso 3.3.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4^{y + 2}}$ .

$8^{2 y - 1} = \frac{1^{3}}{{(4^{y + 2})}^{3}}$

Paso 3.3.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$8^{2 y - 1} = \frac{1}{{(4^{y + 2})}^{3}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica los exponentes en ${(4^{y + 2})}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{2 y - 1} = \frac{1}{4^{(y + 2) \cdot 3}}$

Paso 3.3.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8^{2 y - 1} = \frac{1}{4^{y \cdot 3 + 2 \cdot 3}}$

Paso 3.3.1.5.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$8^{2 y - 1} = \frac{1}{4^{3 \cdot y + 2 \cdot 3}}$

Paso 3.3.1.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$8^{2 y - 1} = \frac{1}{4^{3 y + 6}}$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve $4^{3 y + 6}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$8^{2 y - 1} = 4^{- (3 y + 6)}$

Paso 4.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{3 (2 y - 1)} = 2^{2 (- (3 y + 6))}$

Paso 4.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$3 (2 y - 1) = 2 (- (3 y + 6))$

Paso 4.4

Resuelve $y$

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Paso 4.4.1

Simplifica $3 (2 y - 1)$ .

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Paso 4.4.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 3 (2 y - 1) = 2 (- (3 y + 6))$

Paso 4.4.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$3 (2 y - 1) = 2 (- (3 y + 6))$

Paso 4.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 y) + 3 \cdot - 1 = 2 (- (3 y + 6))$

Paso 4.4.1.4

Multiplica.

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Paso 4.4.1.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 y + 3 \cdot - 1 = 2 (- (3 y + 6))$

Paso 4.4.1.4.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 y - 3 = 2 (- (3 y + 6))$

Paso 4.4.2

Simplifica $2 (- (3 y + 6))$ .

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Paso 4.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 y - 3 = 2 (- (3 y) - 1 \cdot 6)$

Paso 4.4.2.2

Multiplica.

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Paso 4.4.2.2.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$6 y - 3 = 2 (- 3 y - 1 \cdot 6)$

Paso 4.4.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$6 y - 3 = 2 (- 3 y - 6)$

Paso 4.4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 y - 3 = 2 (- 3 y) + 2 \cdot - 6$

Paso 4.4.2.4

Multiplica.

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Paso 4.4.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$6 y - 3 = - 6 y + 2 \cdot - 6$

Paso 4.4.2.4.2

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$6 y - 3 = - 6 y - 12$

Paso 4.4.3

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.3.1

Suma $6 y$ a ambos lados de la ecuación.

$6 y - 3 + 6 y = - 12$

Paso 4.4.3.2

Suma $6 y$ y $6 y$ .

$12 y - 3 = - 12$

Paso 4.4.4

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.4.4.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$12 y = - 12 + 3$

Paso 4.4.4.2

Suma $- 12$ y $3$ .

$12 y = - 9$

Paso 4.4.5

Divide cada término en $12 y = - 9$ por $12$ y simplifica.

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Paso 4.4.5.1

Divide cada término en $12 y = - 9$ por $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{- 9}{12}$

Paso 4.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.5.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 4.4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 y}{12} = \frac{- 9}{12}$

Paso 4.4.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 9}{12}$

Paso 4.4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.5.3.1

Cancela el factor común de $- 9$ y $12$ .

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Paso 4.4.5.3.1.1

Factoriza $3$ de $- 9$ .

$y = \frac{3 (- 3)}{12}$

Paso 4.4.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.5.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y = \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 4}$

Paso 4.4.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 4}$

Paso 4.4.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 3}{4}$

Paso 4.4.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$y = - 0.75$