Matemática básica Ejemplos

$3 (10^{6 y}) = 11 (10^{3 y}) + 4$

Paso 1

Resta $11 \cdot 10^{3 y}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 \cdot 10^{6 y} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Paso 2

Reescribe $10^{6 y}$ como exponenciación.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot 10^{3 y} = 4$

Paso 3

Reescribe $10^{3 y}$ como exponenciación.

$3 \cdot {(10^{y})}^{6} - 11 \cdot {(10^{y})}^{3} = 4$

Paso 4

Sustituye $u$ por $10^{y}$ .

$3 \cdot u^{6} - 11 \cdot u^{3} = 4$

Paso 5

Multiplica $- 11$ por $u^{3}$ .

$3 u^{6} - 11 u^{3} = 4$

Paso 6

Resuelve $u$

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Paso 6.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 u^{6} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Reescribe $u^{6}$ como ${(u^{3})}^{2}$ .

$3 {(u^{3})}^{2} - 11 u^{3} - 4 = 0$

Paso 6.2.2

Sea $u = u^{3}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $u^{3}$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.2.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Paso 6.2.3.1.2

Reescribe $- 11$ como $1$ más $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Paso 6.2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Paso 6.2.3.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Paso 6.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Paso 6.2.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Paso 6.2.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Paso 6.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $u^{3}$ .

$(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

$u^{3} - 4 = 0$

Paso 6.4

Establece $3 u^{3} + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.4.1

Establece $3 u^{3} + 1$ igual a $0$ .

$3 u^{3} + 1 = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $3 u^{3} + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 6.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 u^{3} = - 1$

Paso 6.4.2.2

Divide cada término en $3 u^{3} = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.2.1

Divide cada término en $3 u^{3} = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u^{3}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.4.2.2.2.1.2

Divide $u^{3}$ por $1$ .

$u^{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 6.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u^{3} = - \frac{1}{3}$

Paso 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$

Paso 6.4.2.4

Simplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 6.4.2.4.1

Reescribe $- \frac{1}{3}$ como ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.4.2.4.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3}}$

Paso 6.4.2.4.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3}}$

Paso 6.4.2.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$u = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Paso 6.4.2.4.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$u = - \sqrt[3]{\frac{1}{3}}$

Paso 6.4.2.4.4

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3}}$

Paso 6.4.2.4.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$u = - \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Paso 6.4.2.4.6

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Paso 6.4.2.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.2.4.7.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 6.4.2.4.7.2

Eleva $\sqrt[3]{3}$ a la potencia de $1$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Paso 6.4.2.4.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Paso 6.4.2.4.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Paso 6.4.2.4.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ como $3$ .

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Paso 6.4.2.4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{3}$ como $3^{\frac{1}{3}}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 6.4.2.4.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 6.4.2.4.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Paso 6.4.2.4.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.2.4.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Paso 6.4.2.4.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Paso 6.4.2.4.7.5.5

Evalúa el exponente.

$u = - \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Paso 6.4.2.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.4.8.1

Reescribe ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ como $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Paso 6.4.2.4.8.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Paso 6.5

Establece $u^{3} - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 6.5.1

Establece $u^{3} - 4$ igual a $0$ .

$u^{3} - 4 = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $u^{3} - 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 6.5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{3} = 4$

Paso 6.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{4}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 u^{3} + 1) (u^{3} - 4) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}, \sqrt[3]{4}$

Paso 7

Sustituye $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ por $u$ en $u = 10^{y}$ .

$- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$

Paso 8

Resuelve $- \frac{\sqrt[3]{9}}{3} = 10^{y}$ .

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$ .

$10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

Paso 8.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{y}) = \log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$

Paso 8.3

La ecuación no puede resolverse porque $\log (- \frac{\sqrt[3]{9}}{3})$ es indefinida.

Indefinida

Paso 8.4

No hay soluciones para $10^{y} = - \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

No hay solución

Paso 9

Sustituye $\sqrt[3]{4}$ por $u$ en $u = 10^{y}$ .

$\sqrt[3]{4} = 10^{y}$

Paso 10

Resuelve $\sqrt[3]{4} = 10^{y}$ .

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Paso 10.1

Reescribe la ecuación como $10^{y} = \sqrt[3]{4}$ .

$10^{y} = \sqrt[3]{4}$

Paso 10.2

Resta el logaritmo en base $10$ de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\log (10^{y}) = \log (\sqrt[3]{4})$

Paso 10.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 10.3.1

Expande $\log (10^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \log (10) = \log (\sqrt[3]{4})$

Paso 10.3.2

El logaritmo en base $10$ de $10$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \log (\sqrt[3]{4})$

Paso 10.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \log (\sqrt[3]{4})$

Forma decimal:

$y = 0.20068666 \dots$