Matemática básica Ejemplos

$2 y = \sqrt{27 - 3 y}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{27 - 3 y} = 2 y$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{27 - 3 y}}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{27 - 3 y}$ como ${(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(27 - 3 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(27 - 3 y)}^{1} = {(2 y)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$27 - 3 y = {(2 y)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(2 y)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 y$ .

$27 - 3 y = 2^{2} y^{2}$

Paso 3.3.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$27 - 3 y = 4 y^{2}$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Resta $4 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$27 - 3 y - 4 y^{2} = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Factoriza $- 1$ de $27 - 3 y - 4 y^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve $27$ .

$- 3 y - 4 y^{2} + 27 = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Reordena $- 3 y$ y $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 3 y + 27 = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 y^{2}$ .

$- (4 y^{2}) - 3 y + 27 = 0$

Paso 4.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 y$ .

$- (4 y^{2}) - (3 y) + 27 = 0$

Paso 4.2.1.4

Reescribe $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$- (4 y^{2}) - (3 y) - 1 \cdot - 27 = 0$

Paso 4.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 y^{2}) - (3 y)$ .

$- (4 y^{2} + 3 y) - 1 \cdot - 27 = 0$

Paso 4.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (4 y^{2} + 3 y) - 1 (- 27)$ .

$- (4 y^{2} + 3 y - 27) = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 27 = - 108$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$- (4 y^{2} + 3 (y) - 27) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 9$ más $12$

$- (4 y^{2} + (- 9 + 12) y - 27) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (4 y^{2} - 9 y + 12 y - 27) = 0$

Paso 4.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((4 y^{2} - 9 y) + 12 y - 27) = 0$

Paso 4.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (y (4 y - 9) + 3 (4 y - 9)) = 0$

Paso 4.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 y - 9$ .

$- ((4 y - 9) (y + 3)) = 0$

Paso 4.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (4 y - 9) (y + 3) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 y - 9 = 0$

$y + 3 = 0$

Paso 4.4

Establece $4 y - 9$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.4.1

Establece $4 y - 9$ igual a $0$ .

$4 y - 9 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $4 y - 9 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.4.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = 9$

Paso 4.4.2.2

Divide cada término en $4 y = 9$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.1

Divide cada término en $4 y = 9$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{9}{4}$

Paso 4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{9}{4}$

Paso 4.4.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{9}{4}$

Paso 4.5

Establece $y + 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.5.1

Establece $y + 3$ igual a $0$ .

$y + 3 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 3$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (4 y - 9) (y + 3) = 0$ verdadera.

$y = \frac{9}{4}, - 3$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $2 y = \sqrt{27 - 3 y}$ sea verdadera.

$y = \frac{9}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{9}{4}$

Forma decimal:

$y = 2.25$

Forma de número mixto:

$y = 2 \frac{1}{4}$