Matemática básica Ejemplos

$3 \cdot 12^{q} = 2^{q - 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3 \cdot 12^{q}) = \ln (2^{q - 1})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (3 \cdot 12^{q})$ como $\ln (3) + \ln (12^{q})$ .

$\ln (3) + \ln (12^{q}) = \ln (2^{q - 1})$

Paso 2.2

Expande $\ln (12^{q})$ ; para ello, mueve $q$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) + q \ln (12) = \ln (2^{q - 1})$

Paso 3

Expande $\ln (2^{q - 1})$ ; para ello, mueve $q - 1$ fuera del logaritmo.

$\ln (3) + q \ln (12) = (q - 1) \ln (2)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Simplifica $(q - 1) \ln (2)$ .

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (3) + q \ln (12) = q \ln (2) - 1 \ln (2)$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$\ln (3) + q \ln (12) = q \ln (2) - \ln (2)$

Paso 5

Reordena $\ln (3)$ y $q \ln (12)$ .

$q \ln (12) + \ln (3) = q \ln (2) - \ln (2)$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$q \ln (12) + \ln (3) - q \ln (2) + \ln (2) = 0$

Paso 7

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$q \ln (12) - q \ln (2) + \ln (3 \cdot 2) = 0$

Paso 8

Multiplica $3$ por $2$ .

$q \ln (12) - q \ln (2) + \ln (6) = 0$

Paso 9

Resta $\ln (6)$ de ambos lados de la ecuación.

$q \ln (12) - q \ln (2) = - \ln (6)$

Paso 10

Factoriza $q$ de $q \ln (12) - q \ln (2)$ .

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Paso 10.1

Factoriza $q$ de $q \ln (12)$ .

$q (\ln (12)) - q \ln (2) = - \ln (6)$

Paso 10.2

Factoriza $q$ de $- q \ln (2)$ .

$q (\ln (12)) + q (- 1 \ln (2)) = - \ln (6)$

Paso 10.3

Factoriza $q$ de $q (\ln (12)) + q (- 1 \ln (2))$ .

$q (\ln (12) - 1 \ln (2)) = - \ln (6)$

Paso 11

Reescribe $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$q (\ln (12) - \ln (2)) = - \ln (6)$

Paso 12

Divide cada término en $q (\ln (12) - \ln (2)) = - \ln (6)$ por $\ln (12) - \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 12.1

Divide cada término en $q (\ln (12) - \ln (2)) = - \ln (6)$ por $\ln (12) - \ln (2)$ .

$\frac{q (\ln (12) - \ln (2))}{\ln (12) - \ln (2)} = \frac{- \ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Paso 12.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $\ln (12) - \ln (2)$ .

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Paso 12.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{q (\ln (12) - \ln (2))}{\ln (12) - \ln (2)} = \frac{- \ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Paso 12.2.1.2

Divide $q$ por $1$ .

$q = \frac{- \ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Paso 12.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$q = - \frac{\ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$q = - \frac{\ln (6)}{\ln (12) - \ln (2)}$

Forma decimal:

$q = - 1$