Matemática básica Ejemplos

\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} = \frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Paso 2

Reescribe

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2})$ como

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Paso 3

Reescribe

$\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ como

$\ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$ .

$\ln (2^{n} + 2^{- n}) - \ln (2) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Paso 4

Resuelve la ecuación en

$n$ .

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Paso 4.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (1 + 4^{n}) - \ln (2^{n} + 1)$

Paso 4.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) = \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que contengan

$n$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta

$\ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1})$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}) - \ln (\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}) = 0$

Paso 4.3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}}{\frac{1 + 4^{n}}{2^{n} + 1}}) = 0$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2} \cdot \frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}) = 0$

Paso 4.3.4

Multiplica

$\frac{2^{n} + 2^{- n}}{2}$ por

$\frac{2^{n} + 1}{1 + 4^{n}}$ .

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$

Paso 4.4

Reescribe

$\ln (\frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si

$x$ y

$b$ son números reales positivos y

$b$

$\neq$

$1$ , entonces

$\log_{b} (x) = y$ es equivalente a

$b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)}{2 (1 + 4^{n})}$

Paso 4.5

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$

Paso 4.6

Simplifica

$e^{0} (2 (1 + 4^{n}))$ .

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Paso 4.6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1.1

Cualquier valor elevado a

$0$ es

$1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 1 (2 (1 + 4^{n}))$

Paso 4.6.1.2

Multiplica

$2 (1 + 4^{n})$ por

$1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 (1 + 4^{n})$

Paso 4.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4^{n}$

Paso 4.6.3

Multiplica

$2$ por

$1$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 4^{n}$

Paso 4.6.4

Multiplica

$2 \cdot 4^{n}$ .

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Paso 4.6.4.1

Reescribe

$4$ como

$2^{2}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot {(2^{2})}^{n}$

Paso 4.6.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2 \cdot 2^{2 n}$

Paso 4.6.4.3

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) = 2 + 2^{1 + 2 n}$

Paso 4.7

Mueve todos los términos que contengan

$n$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.7.1

Resta

$2^{1 + 2 n}$ de ambos lados de la ecuación.

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.7.2.1

Expande

$(2^{n} + 2^{- n}) (2^{n} + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.7.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{n} (2^{n} + 1) + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} (2^{n} + 1) - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2^{n} \cdot 2^{n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.1

Multiplica

$2^{n}$ por

$2^{n}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{n + n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.1.2

Suma

$n$ y

$n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} \cdot 1 + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.2

Multiplica

$2^{n}$ por

$1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} \cdot 2^{n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.3

Multiplica

$2^{- n}$ por

$2^{n}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.7.2.2.3.1

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n + n} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.3.2

Suma

$- n$ y

$n$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{0} + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.4

Simplifica

$2^{0}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} \cdot 1 - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.7.2.2.5

Multiplica

$2^{- n}$ por

$1$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 1 + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2$

Paso 4.8

Mueve todos los términos que no contengan

$n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.8.1

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 2 - 1$

Paso 4.8.2

Resta

$1$ de

$2$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - 2^{1 + 2 n} = 1$

Paso 4.9

Reescribe

$2^{1 + 2 n}$ como

$2^{1} \cdot 2^{2 n}$ .

$2^{2 n} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Paso 4.10

Reescribe

$2^{2 n}$ como exponenciación.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + 2^{- n} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Paso 4.11

Reescribe

$2^{- n}$ como exponenciación.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot 2^{2 n}) = 1$

Paso 4.12

Reescribe

$2^{2 n}$ como exponenciación.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - (2 \cdot {(2^{n})}^{2}) = 1$

Paso 4.13

Elimina los paréntesis.

${(2^{n})}^{2} + 2^{n} + {(2^{n})}^{- 1} - 2 {(2^{n})}^{2} = 1$

Paso 4.14

Sustituye

$u$ por

$2^{n}$ .

$u^{2} + u + u^{- 1} - 2 u^{2} = 1$

Paso 4.15

Simplifica cada término.

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Paso 4.15.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Paso 4.15.2

Evalúa el exponente.

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 1 \cdot (2 u^{2}) = 1$

Paso 4.15.3

Multiplica

$- 1$ por

$2$ .

$u^{2} + u + \frac{1}{u} - 2 u^{2} = 1$

Paso 4.16

Resta

$2 u^{2}$ de

$u^{2}$ .

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$

Paso 4.17

Resuelve

$u$

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Paso 4.17.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.17.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 1, u, 1$

Paso 4.17.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 4.17.2

Multiplica cada término en

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ por

$u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.17.2.1

Multiplica cada término en

$- u^{2} + u + \frac{1}{u} = 1$ por

$u$ .

$- u^{2} u + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.17.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1.1

Multiplica

$u^{2}$ por

$u$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1.1.1

Mueve

$u$ .

$- (u \cdot u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.1.2

Multiplica

$u$ por

$u^{2}$ .

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Paso 4.17.2.2.1.1.2.1

Eleva

$u$ a la potencia de

$1$ .

$- (u^{1} u^{2}) + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- u^{1 + 2} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.1.3

Suma

$1$ y

$2$ .

$- u^{3} + u \cdot u + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.2

Multiplica

$u$ por

$u$ .

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.3

Cancela el factor común de

$u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$- u^{3} + u^{2} + \frac{1}{u} u = 1 u$

Paso 4.17.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$- u^{3} + u^{2} + 1 = 1 u$

Paso 4.17.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.2.3.1

Multiplica

$u$ por

$1$ .

$- u^{3} + u^{2} + 1 = u$

Paso 4.17.3

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.1

Resta

$u$ de ambos lados de la ecuación.

$- u^{3} + u^{2} + 1 - u = 0$

Paso 4.17.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.17.3.2.1

Reordena los términos.

$- u^{3} + u^{2} - u + 1 = 0$

Paso 4.17.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.17.3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(- u^{3} + u^{2}) - u + 1 = 0$

Paso 4.17.3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u^{2} (- u + 1) + 1 (- u + 1) = 0$

Paso 4.17.3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor,

$- u + 1$ .

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$

Paso 4.17.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a

$0$ , la expresión completa será igual a

$0$ .

$- u + 1 = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Paso 4.17.3.4

Establece

$- u + 1$ igual a

$0$ y resuelve

$u$ .

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Paso 4.17.3.4.1

Establece

$- u + 1$ igual a

$0$ .

$- u + 1 = 0$

Paso 4.17.3.4.2

Resuelve

$- u + 1 = 0$ en

$u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.2.1

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$- u = - 1$

Paso 4.17.3.4.2.2

Divide cada término en

$- u = - 1$ por

$- 1$ y simplifica.

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Paso 4.17.3.4.2.2.1

Divide cada término en

$- u = - 1$ por

$- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.17.3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.17.3.4.2.2.2.2

Divide

$u$ por

$1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.17.3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.4.2.2.3.1

Divide

$- 1$ por

$- 1$ .

$u = 1$

Paso 4.17.3.5

Establece

$u^{2} + 1$ igual a

$0$ y resuelve

$u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.5.1

Establece

$u^{2} + 1$ igual a

$0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Paso 4.17.3.5.2

Resuelve

$u^{2} + 1 = 0$ en

$u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.17.3.5.2.1

Resta

$1$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} = - 1$

Paso 4.17.3.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 4.17.3.5.2.3

Reescribe

$\sqrt{- 1}$ como

$i$ .

$u = \pm i$

Paso 4.17.3.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.17.3.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de

$\pm$ para obtener la primera solución.

$u = i$

Paso 4.17.3.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de

$\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - i$

Paso 4.17.3.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = i, - i$

Paso 4.17.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen

$(- u + 1) (u^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$u = 1, i, - i$

Paso 4.18

Sustituye

$1$ por

$u$ en

$u = 2^{n}$ .

$1 = 2^{n}$

Paso 4.19

Resuelve

$1 = 2^{n}$ .

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Paso 4.19.1

Reescribe la ecuación como

$2^{n} = 1$ .

$2^{n} = 1$

Paso 4.19.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (1)$

Paso 4.19.3

Expande

$\ln (2^{n})$ ; para ello, mueve

$n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (1)$

Paso 4.19.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.4.1

El logaritmo natural de

$1$ es

$0$ .

$n \ln (2) = 0$

Paso 4.19.5

Divide cada término en

$n \ln (2) = 0$ por

$\ln (2)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.1

Divide cada término en

$n \ln (2) = 0$ por

$\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 4.19.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.2.1

Cancela el factor común de

$\ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 4.19.5.2.1.2

Divide

$n$ por

$1$ .

$n = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 4.19.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.5.3.1

Divide

$0$ por

$\ln (2)$ .

$n = 0$

Paso 4.20

Sustituye

$i$ por

$u$ en

$u = 2^{n}$ .

$i = 2^{n}$

Paso 4.21

Resuelve

$i = 2^{n}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.1

Reescribe la ecuación como

$2^{n} = i$ .

$2^{n} = i$

Paso 4.21.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (i)$

Paso 4.21.3

Expande

$\ln (2^{n})$ ; para ello, mueve

$n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (2) = \ln (i)$

Paso 4.21.4

Divide cada término en

$n \ln (2) = \ln (i)$ por

$\ln (2)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.4.1

Divide cada término en

$n \ln (2) = \ln (i)$ por

$\ln (2)$ .

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Paso 4.21.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.4.2.1

Cancela el factor común de

$\ln (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Paso 4.21.4.2.1.2

Divide

$n$ por

$1$ .

$n = \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$

Paso 4.22

Sustituye

$- i$ por

$u$ en

$u = 2^{n}$ .

$- i = 2^{n}$

Paso 4.23

Resuelve

$- i = 2^{n}$ .

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Paso 4.23.1

Reescribe la ecuación como

$2^{n} = - i$ .

$2^{n} = - i$

Paso 4.23.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{n}) = \ln (- i)$

Paso 4.23.3

La ecuación no puede resolverse porque

$\ln (- i)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 4.23.4

No hay soluciones para

$2^{n} = - i$

No hay solución

Paso 4.24

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$n = 0, \frac{\ln (i)}{\ln (2)}$