Matemática básica Ejemplos

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$

Paso 1

Simplifica $\frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot {(y - 4)}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(y - 4)}^{2}$ como $(y - 4) (y - 4)$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot ((y - 4) (y - 4))$

Paso 1.3

Expande $(y - 4) (y - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y (y - 4) - 4 (y - 4))$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 (y - 4))$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} + y \cdot - 4 - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Paso 1.4.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 4 \cdot y - 4 y - 4 \cdot - 4)$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 4 y - 4 y + 16)$

Paso 1.4.2

Resta $4 y$ de $- 4 y$ .

$y + 3 = \frac{1}{8} \cdot (y^{2} - 8 y + 16)$

Paso 1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 3 = \frac{1}{8} y^{2} + \frac{1}{8} (- 8 y) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $y^{2}$ .

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (- 8 y) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Paso 1.6.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.6.2.1

Factoriza $8$ de $- 8 y$ .

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (8 (- y)) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Paso 1.6.2.2

Cancela el factor común.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8} (8 (- y)) + \frac{1}{8} \cdot 16$

Paso 1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot 16$

Paso 1.6.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 1.6.3.1

Factoriza $8$ de $16$ .

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot (8 (2))$

Paso 1.6.3.2

Cancela el factor común.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2)$

Paso 1.6.3.3

Reescribe la expresión.

$y + 3 = \frac{y^{2}}{8} - y + 2$

Paso 2

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{8} - y + 2 = y + 3$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{8} - y + 2 - y = 3$

Paso 3.2

Resta $y$ de $- y$ .

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y + 2 = 3$

Paso 4

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 4.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y + 2 - 3 = 0$

Paso 4.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{y^{2}}{8} - 2 y - 1 = 0$

Paso 5

Multiplica por el mínimo común denominador $8$ , luego simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (\frac{y^{2}}{8}) + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$8 (\frac{y^{2}}{8}) + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} + 8 (- 2 y) + 8 \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2.2

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$y^{2} - 16 y + 8 \cdot - 1 = 0$

Paso 5.2.3

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$y^{2} - 16 y - 8 = 0$

Paso 6

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 16$ y $c = - 8$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.3

Suma $256$ y $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4

Reescribe $288$ como $12^{2} \cdot 2$ .

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Paso 8.1.4.1

Factoriza $144$ de $288$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.4.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Paso 8.3

Simplifica $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.3

Suma $256$ y $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4

Reescribe $288$ como $12^{2} \cdot 2$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $144$ de $288$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.4.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 9.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Paso 9.3

Simplifica $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Paso 9.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = 8 + 6 \sqrt{2}$

Paso 10

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 8$ .

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Paso 10.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.3

Suma $256$ y $32$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{288}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.4

Reescribe $288$ como $12^{2} \cdot 2$ .

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Paso 10.1.4.1

Factoriza $144$ de $288$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{144 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.4.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$

Paso 10.3

Simplifica $\frac{16 \pm 12 \sqrt{2}}{2}$ .

$y = 8 \pm 6 \sqrt{2}$

Paso 10.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = 8 - 6 \sqrt{2}$

Paso 11

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 8 + 6 \sqrt{2}, 8 - 6 \sqrt{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = 8 + 6 \sqrt{2}, 8 - 6 \sqrt{2}$

Forma decimal:

$y = 16.48528137 \dots, - 0.48528137 \dots$