Matemática básica Ejemplos

${(1 - i)}^{6}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 \cdot 1^{5} (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 \cdot 1 (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 + 6 (- i) + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$1 - 6 i + 15 \cdot 1^{4} {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 6 i + 15 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.6

Multiplica $15$ por $1$ .

$1 - 6 i + 15 {(- i)}^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.7

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 6 i + 15 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 6 i + 15 (1 i^{2}) + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.9

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.10

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.11

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.12

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 6 i - 15 + 20 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.13

Multiplica $20$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 {(- i)}^{3} + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.14

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- i^{3}) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.16

Factoriza $i^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- (i^{2} \cdot i)) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.17

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- (- 1 \cdot i)) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.18

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (- - i) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 (1 i) + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.20

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1^{2} {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.22

Multiplica $15$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(- i)}^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.23

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.24

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 (1 i^{4}) + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.25

Multiplica $i^{4}$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.26

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.26.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.26.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.26.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.27

Multiplica $15$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 \cdot 1 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.28

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 {(- i)}^{5} + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.29

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{5} i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.30

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- i^{5}) + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.31

Factoriza $i^{4}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- (i^{4} i)) + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.32

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.32.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.32.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- ({(- 1)}^{2} i)) + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.32.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- (1 i)) + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.33

Multiplica $i$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 + 6 (- i) + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.34

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- i)}^{6}$

Paso 2.1.35

Aplica la regla del producto a $- i$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- 1)}^{6} i^{6}$

Paso 2.1.36

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + 1 i^{6}$

Paso 2.1.37

Multiplica $i^{6}$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{6}$

Paso 2.1.38

Factoriza $i^{4}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{4} i^{2}$

Paso 2.1.39

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.39.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.39.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.39.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + 1 i^{2}$

Paso 2.1.40

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i + i^{2}$

Paso 2.1.41

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 6 i - 15 + 20 i + 15 - 6 i - 1$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $15$ de $1$ .

$- 14 - 6 i + 20 i + 15 - 6 i - 1$

Paso 2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.2.1

Suma $- 14$ y $15$ .

$1 - 6 i + 20 i - 6 i - 1$

Paso 2.2.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$0 - 6 i + 20 i - 6 i$

Paso 2.2.2.3

Resta $6 i$ de $0$ .

$- 6 i + 20 i - 6 i$

Paso 2.2.3

Suma $- 6 i$ y $20 i$ .

$14 i - 6 i$

Paso 2.2.4

Resta $6 i$ de $14 i$ .

$8 i$