Matemática básica Ejemplos

$(\sqrt{9 + 3 \sqrt{5}}) (\sqrt{9 - 3 \sqrt{5}})$

Paso 1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{(9 + 3 \sqrt{5}) (9 - 3 \sqrt{5})}$

Paso 2

Expande $(9 + 3 \sqrt{5}) (9 - 3 \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{9 (9 - 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (9 - 3 \sqrt{5})}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{9 \cdot 9 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} (9 - 3 \sqrt{5})}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{9 \cdot 9 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $9$ por $9$ .

$\sqrt{81 + 9 (- 3 \sqrt{5}) + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} \cdot 9 + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Paso 3.1.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})}$

Paso 3.1.4

Multiplica $3 \sqrt{5} (- 3 \sqrt{5})$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 3.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Paso 3.1.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Paso 3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 3.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5^{1}}$

Paso 3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 9 \cdot 5}$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 9$ por $5$ .

$\sqrt{81 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5} - 45}$

Paso 3.2

Resta $45$ de $81$ .

$\sqrt{36 - 27 \sqrt{5} + 27 \sqrt{5}}$

Paso 3.3

Suma $- 27 \sqrt{5}$ y $27 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{36 + 0}$

Paso 3.4

Suma $36$ y $0$ .

$\sqrt{36}$

Paso 4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Paso 5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$6$