Matemática básica Ejemplos

$(\sqrt{7 + \sqrt{5}}) (\sqrt{7 - \sqrt{5}})$

Paso 1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{(7 + \sqrt{5}) (7 - \sqrt{5})}$

Paso 2

Expande $(7 + \sqrt{5}) (7 - \sqrt{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{7 (7 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (7 - \sqrt{5})}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (7 - \sqrt{5})}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{7 \cdot 7 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 7 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$\sqrt{49 + 7 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 7 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 7 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Paso 3.1.3

Mueve $7$ a la izquierda de $\sqrt{5}$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Paso 3.1.4.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Paso 3.1.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Paso 3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 3.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5^{1}}$

Paso 3.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\sqrt{49 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5} - 5}$

Paso 3.2

Resta $5$ de $49$ .

$\sqrt{44 - 7 \sqrt{5} + 7 \sqrt{5}}$

Paso 3.3

Suma $- 7 \sqrt{5}$ y $7 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{44 + 0}$

Paso 3.4

Suma $44$ y $0$ .

$\sqrt{44}$

Paso 4

Reescribe $44$ como $2^{2} \cdot 11$ .

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Paso 4.1

Factoriza $4$ de $44$ .

$\sqrt{4 (11)}$

Paso 4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 11}$

Paso 5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{11}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$2 \sqrt{11}$

Forma decimal:

$6.63324958 \dots$