Matemática básica Ejemplos

$(9, - 2)$ , $(- 5, - 6)$

Paso 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Paso 2

Find the dot product.

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Paso 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot - 5 - 2 \cdot - 6$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $9$ por $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 - 2 \cdot - 6$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 + 12$

Paso 2.2.2

Suma $- 45$ y $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 33$

Paso 3

Obtén la magnitud de $a⃗$ .

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Paso 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + {(- 2)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 4}$

Paso 3.2.3

Suma $81$ y $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{85}$

Paso 4

Obtén la magnitud de $b⃗$ .

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Paso 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 6)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 36}$

Paso 4.2.3

Suma $25$ y $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{61}$

Paso 5

Sustituye los valores en la fórmula.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85} \sqrt{61}})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85 \cdot 61}})$

Paso 6.1.2

Multiplica $85$ por $61$ .

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{5185}})$

Paso 6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$θ = \arccos (- \frac{33}{\sqrt{5185}})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ por $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{33}{\sqrt{5185}} \cdot \frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}))$

Paso 6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ por $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{\sqrt{5185} \sqrt{5185}})$

Paso 6.4.2

Eleva $\sqrt{5185}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} \sqrt{5185}})$

Paso 6.4.3

Eleva $\sqrt{5185}$ a la potencia de $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} {\sqrt{5185}}^{1}})$

Paso 6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1 + 1}})$

Paso 6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{2}})$

Paso 6.4.6

Reescribe ${\sqrt{5185}}^{2}$ como $5185$ .

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Paso 6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5185}$ como $5185^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{(5185^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Paso 6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Paso 6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Paso 6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{1}})$

Paso 6.4.6.5

Evalúa el exponente.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$

Paso 6.5

Evalúa $\arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$ .

$θ = 117.27676338$