Matemática básica Ejemplos

$a^{2} = \sqrt{2} a + 1$

Paso 1

Resta $\sqrt{2} a$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{2} - \sqrt{2} a = 1$

Paso 2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{2} - \sqrt{2} a - 1 = 0$

Paso 3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - \sqrt{2}$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.5

Evalúa el exponente.

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Suma $2$ y $4$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{6}}{2}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$a = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Forma decimal:

$a = 1.93185165 \dots, - 0.51763809 \dots$