Matemática básica Ejemplos

$\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{a + 6}}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a + 6}$ como ${(a + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Simplifica ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(a + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(a + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(a + 6)}^{1} = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$a + 6 = {(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{2 a} - 1)}^{2}$ como $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ .

$a + 6 = (\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(\sqrt{2 a} - 1) (\sqrt{2 a} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a + 6 = \sqrt{2 a} (\sqrt{2 a} - 1) - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 (\sqrt{2 a} - 1)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a + 6 = \sqrt{2 a} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{2 a} \sqrt{2 a}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{2 a}$ a la potencia de $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} \sqrt{2 a} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{2 a}$ a la potencia de $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1} {\sqrt{2 a}}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{1 + 1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$a + 6 = {\sqrt{2 a}}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2 a}}^{2}$ como $2 a$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 a}$ como ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$a + 6 = {({(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$a + 6 = {(2 a)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$a + 6 = {(2 a)}^{1} + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$a + 6 = 2 a + \sqrt{2 a} \cdot - 1 - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 1 \cdot \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.4

Reescribe $- 1 \sqrt{2 a}$ como $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - 1 \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.5

Reescribe $- 1 \sqrt{2 a}$ como $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a + 6 = 2 a - \sqrt{2 a} - \sqrt{2 a} + 1$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $\sqrt{2 a}$ de $- \sqrt{2 a}$ .

$a + 6 = 2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1$

Paso 3

Resuelve $- 2 \sqrt{2 a}$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$ .

$2 a - 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 2 \sqrt{2 a}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Resta $2 a$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sqrt{2 a} + 1 = a + 6 - 2 a$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sqrt{2 a} = a + 6 - 2 a - 1$

Paso 3.2.3

Resta $2 a$ de $a$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 6 - 1$

Paso 3.2.4

Resta $1$ de $6$ .

$- 2 \sqrt{2 a} = - a + 5$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 2 \sqrt{2 a})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 a}$ como ${(2 a)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica ${(- 2 {(2 a)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 a$ .

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.2.1

Factoriza el negativo.

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.6

Suma $2$ y $1$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.3.1

Aplica la regla del producto a $- 2^{\frac{3}{2}} a^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Aplica la regla del producto a $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{3} {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(a^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.8

Multiplica los exponentes en ${(a^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.8.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.8.2.1

Cancela el factor común.

$8 a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.8.2.2

Reescribe la expresión.

$8 a^{1} = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.2.1.9

Simplifica.

$8 a = {(- a + 5)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Simplifica ${(- a + 5)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.1

Reescribe ${(- a + 5)}^{2}$ como $(- a + 5) (- a + 5)$ .

$8 a = (- a + 5) (- a + 5)$

Paso 5.3.1.2

Expande $(- a + 5) (- a + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 a = - a (- a + 5) + 5 (- a + 5)$

Paso 5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a + 5)$

Paso 5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 a = - a (- a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 a = - 1 \cdot - 1 a \cdot a - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1.3.1.2.1

Mueve $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$8 a = - 1 \cdot - 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 a = 1 a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.4

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$8 a = a^{2} - a \cdot 5 + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$8 a = a^{2} - 5 a + 5 (- a) + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 5 \cdot 5$

Paso 5.3.1.3.1.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$8 a = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

Paso 5.3.1.3.2

Resta $5 a$ de $- 5 a$ .

$8 a = a^{2} - 10 a + 25$

Paso 6

Resuelve $a$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Como $a$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$a^{2} - 10 a + 25 = 8 a$

Paso 6.2

Mueve todos los términos que contengan $a$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Resta $8 a$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{2} - 10 a + 25 - 8 a = 0$

Paso 6.2.2

Resta $8 a$ de $- 10 a$ .

$a^{2} - 18 a + 25 = 0$

Paso 6.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 18$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.1

Eleva $- 18$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.3

Resta $100$ de $324$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{224}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.4

Reescribe $224$ como $4^{2} \cdot 14$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.5.1.4.1

Factoriza $16$ de $224$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{16 (14)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$a = \frac{18 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$a = \frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$

Paso 6.5.3

Simplifica $\frac{18 \pm 4 \sqrt{14}}{2}$ .

$a = 9 \pm 2 \sqrt{14}$

Paso 6.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}, 9 - 2 \sqrt{14}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{a + 6} = \sqrt{2 a} - 1$ sea verdadera.

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$a = 9 + 2 \sqrt{14}$

Forma decimal:

$a = 16.48331477 \dots$