Matemática básica Ejemplos

$\frac{1 + i}{3 + 4 i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1 + i}{3 + 4 i}$ por el conjugado de $3 + 4 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1 + i}{3 + 4 i} \cdot \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(1 + i) (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(1 + i) (3 - 4 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (3 - 4 i) + i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 4 i) + i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 (- 4 i) + i \cdot 3 + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 + 1 (- 4 i) + i \cdot 3 + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- 4 i$ por $1$ .

$\frac{3 - 4 i + i \cdot 3 + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 \cdot i + i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $i (- 4 i)$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 (i^{1} i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 (i^{1} i^{1})}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 i^{1 + 1}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 i^{2}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i - 4 \cdot - 1}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{3 - 4 i + 3 i + 4}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.2

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{7 - 4 i + 3 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.2.2.3

Suma $- 4 i$ y $3 i$ .

$\frac{7 - i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(3 + 4 i) (3 - 4 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 - i}{3 (3 - 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 - i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 - i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{7 - i}{9 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i + 4 i (- 4 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Suma $- 12 i$ y $12 i$ .

$\frac{7 - i}{9 + 0 - 16 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{7 - i}{9 - 16 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{7 - i}{9 - 16 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$\frac{7 - i}{9 + 16}$

Paso 2.3.4

Suma $9$ y $16$ .

$\frac{7 - i}{25}$

Paso 3

Divide la fracción $\frac{7 - i}{25}$ en dos fracciones.

$\frac{7}{25} + \frac{- i}{25}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7}{25} - \frac{i}{25}$