Matemática básica Ejemplos

$\cos (2 s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(1 - 2 \sin^{2} (s)) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Paso 1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \sin (s) - 2 \sin^{2} (s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Paso 1.1.3

Multiplica $\sin (s)$ por $1$ .

$\sin (s) - 2 \sin^{2} (s) \sin (s) + \sin (s) = 0$

Paso 1.1.4

Multiplica $\sin^{2} (s)$ por $\sin (s)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.1

Mueve $\sin (s)$ .

$\sin (s) - 2 (\sin (s) \sin^{2} (s)) + \sin (s) = 0$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $\sin (s)$ por $\sin^{2} (s)$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Eleva $\sin (s)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (s) - 2 (\sin (s) \sin^{2} (s)) + \sin (s) = 0$

Paso 1.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (s) - 2 {\sin (s)}^{1 + 2} + \sin (s) = 0$

Paso 1.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\sin (s) - 2 \sin^{3} (s) + \sin (s) = 0$

Paso 1.2

Suma $\sin (s)$ y $\sin (s)$ .

$2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s) = 0$

Paso 2

Factoriza $2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2 \sin (s)$ de $2 \sin (s) - 2 \sin^{3} (s)$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2 \sin (s)$ de $2 \sin (s)$ .

$2 \sin (s) \cdot 1 - 2 \sin^{3} (s) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2 \sin (s)$ de $- 2 \sin^{3} (s)$ .

$2 \sin (s) \cdot 1 + 2 \sin (s) (- \sin^{2} (s)) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2 \sin (s)$ de $2 \sin (s) \cdot 1 + 2 \sin (s) (- \sin^{2} (s))$ .

$2 \sin (s) (1 - \sin^{2} (s)) = 0$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 \sin (s) (1^{2} - \sin^{2} (s)) = 0$

Paso 2.3

Factoriza.

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Paso 2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (s)$ .

$2 \sin (s) ((1 + \sin (s)) (1 - \sin (s))) = 0$

Paso 2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 \sin (s) (1 + \sin (s)) (1 - \sin (s)) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (s) = 0$

$1 + \sin (s) = 0$

$1 - \sin (s) = 0$

Paso 4

Establece $\sin (s)$ igual a $0$ y resuelve $s$ .

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Paso 4.1

Establece $\sin (s)$ igual a $0$ .

$\sin (s) = 0$

Paso 4.2

Resuelve $\sin (s) = 0$ en $s$ .

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Paso 4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $s$ del interior de seno.

$s = \arcsin (0)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$s = 0$

Paso 4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$s = π - 0$

Paso 4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$s = π$

Paso 4.2.5

Obtén el período de $\sin (s)$ .

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Paso 4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.6

El período de la función $\sin (s)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$s = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $1 + \sin (s)$ igual a $0$ y resuelve $s$ .

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Paso 5.1

Establece $1 + \sin (s)$ igual a $0$ .

$1 + \sin (s) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $1 + \sin (s) = 0$ en $s$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (s) = - 1$

Paso 5.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $s$ del interior de seno.

$s = \arcsin (- 1)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$s = - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$s = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 5.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 5.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$s = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 5.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$s = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.6

Obtén el período de $\sin (s)$ .

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Paso 5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 5.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 5.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 5.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 5.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 5.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 5.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$s = \frac{3 π}{2}$

Paso 5.2.8

El período de la función $\sin (s)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$s = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $1 - \sin (s)$ igual a $0$ y resuelve $s$ .

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Paso 6.1

Establece $1 - \sin (s)$ igual a $0$ .

$1 - \sin (s) = 0$

Paso 6.2

Resuelve $1 - \sin (s) = 0$ en $s$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (s) = - 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $- \sin (s) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $- \sin (s) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (s)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (s)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.2.2.2.2

Divide $\sin (s)$ por $1$ .

$\sin (s) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (s) = 1$

Paso 6.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $s$ del interior de seno.

$s = \arcsin (1)$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$s = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$s = π - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 6.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$s = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 6.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$s = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 6.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$s = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 6.2.6.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$s = \frac{π}{2}$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\sin (s)$ .

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Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8

El período de la función $\sin (s)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$s = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (s) (1 + \sin (s)) (1 - \sin (s)) = 0$ verdadera.

$s = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida las respuestas.

$s = \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$