Matemática básica Ejemplos

$\frac{r - 2}{r^{2} - 2 r - 8} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $r^{2} - 2 r - 8$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{r^{2} - 2 r - 8}$

Paso 1.2

Factoriza $r^{2} - 2 r - 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(r - 4) (r + 2), r + 2, (r - 4) (r + 2)$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

El factor para $r - 4$ es $r - 4$ en sí mismo.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.6

El factor para $r + 2$ es $r + 2$ en sí mismo.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El factor para $r - 4$ es $r - 4$ en sí mismo.

$(r - 4) = r - 4$

$(r - 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $r + 2$ es $r + 2$ en sí mismo.

$(r + 2) = r + 2$

$(r + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $r - 4, r + 2, r + 2, r - 4, r + 2$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(r - 4) (r + 2)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ por $(r - 4) (r + 2)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} + \frac{r - 3}{r + 2} = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)}$ por $(r - 4) (r + 2)$ .

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $(r - 4) (r + 2)$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r - 2}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2)) + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r - 4) (r + 2)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $r + 2$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $r + 2$ de $(r - 4) (r + 2)$ .

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r - 2 + \frac{r - 3}{r + 2} ((r + 2) (r - 4)) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r - 2 + (r - 3) (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.3

Expande $(r - 3) (r - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r - 2 + r (r - 4) - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 (r - 4) = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r - 2 + r \cdot r + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.4.1.1

Multiplica $r$ por $r$ .

$r - 2 + r^{2} + r \cdot - 4 - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.4.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $r$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 \cdot r - 3 r - 3 \cdot - 4 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.4.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$r - 2 + r^{2} - 4 r - 3 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.1.4.2

Resta $3 r$ de $- 4 r$ .

$r - 2 + r^{2} - 7 r + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Resta $7 r$ de $r$ .

$- 6 r - 2 + r^{2} + 12 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.2.2.2

Suma $- 2$ y $12$ .

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $(r - 4) (r + 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$- 6 r + r^{2} + 10 = \frac{1}{(r - 4) (r + 2)} ((r - 4) (r + 2))$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$- 6 r + r^{2} + 10 = 1$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 r + r^{2} + 10 - 1 = 0$

Paso 4.2

Resta $1$ de $10$ .

$- 6 r + r^{2} + 9 = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Sea $u = r$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $r$ .

$- 6 u + u^{2} + 9 = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.3.2.1

Reorganiza los términos.

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

Paso 4.3.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

Paso 4.3.2.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Paso 4.3.2.4

Reescribe el polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Paso 4.3.2.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 3$ .

${(u - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $r$ .

${(r - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.4

Establece $r - 3$ igual a $0$ .

$r - 3 = 0$

Paso 4.5

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 3$