Matemática básica Ejemplos

$2 = (54) r^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $54 r^{3} = 2$ .

$54 r^{3} = 2$

Paso 2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$54 r^{3} - 2 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $2$ de $54 r^{3} - 2$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $54 r^{3}$ .

$2 (27 r^{3}) - 2 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (27 r^{3}) + 2 (- 1) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (27 r^{3}) + 2 (- 1)$ .

$2 (27 r^{3} - 1) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $27 r^{3}$ como ${(3 r)}^{3}$ .

$2 ({(3 r)}^{3} - 1) = 0$

Paso 3.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$2 ({(3 r)}^{3} - 1^{3}) = 0$

Paso 3.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 3 r$ y $b = 1$ .

$2 ((3 r - 1) ({(3 r)}^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 3.5

Factoriza.

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Paso 3.5.1

Simplifica.

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Paso 3.5.1.1

Aplica la regla del producto a $3 r$ .

$2 ((3 r - 1) (3^{2} r^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1^{2})) = 0$

Paso 3.5.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 ((3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1)) = 0$

Paso 3.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 r - 1 = 0$

$9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$

Paso 5

Establece $3 r - 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 5.1

Establece $3 r - 1$ igual a $0$ .

$3 r - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 r - 1 = 0$ en $r$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 r = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 r = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 r = 1$ por $3$ .

$\frac{3 r}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 r}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Paso 6

Establece $9 r^{2} + 3 r + 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 6.1

Establece $9 r^{2} + 3 r + 1$ igual a $0$ .

$9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $9 r^{2} + 3 r + 1 = 0$ en $r$ .

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Paso 6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6.2.2

Sustituye los valores $a = 9$ , $b = 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

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Paso 6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.3

Resta $36$ de $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.4

Reescribe $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.7

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.3.1.7.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (3 r - 1) (9 r^{2} + 3 r + 1) = 0$ verdadera.

$r = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$