Matemática básica Ejemplos

$\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}}^{4} = {(- y)}^{4}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3}$ como ${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- y)}^{4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 y^{2} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- y)}^{4}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 y^{2} - 3)}^{1} = {(- y)}^{4}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$4 y^{2} - 3 = {(- y)}^{4}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(- y)}^{4}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- y$ .

$4 y^{2} - 3 = {(- 1)}^{4} y^{4}$

Paso 2.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$4 y^{2} - 3 = 1 y^{4}$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $y^{4}$ por $1$ .

$4 y^{2} - 3 = y^{4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Resta $y^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 3 - y^{4} = 0$

Paso 3.2

Sustituye $u = y^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- u^{2} + 4 u - 3 = 0$

$u = y^{2}$

Paso 3.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + 4 u - 3$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 4 u - 3 = 0$

Paso 3.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $4 u$ .

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 3 = 0$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$- (u^{2}) - (- 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Paso 3.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - (- 4 u)$ .

$- (u^{2} - 4 u) - 1 \cdot 3 = 0$

Paso 3.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - 4 u) - 1 (3)$ .

$- (u^{2} - 4 u + 3) = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza.

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $u^{2} - 4 u + 3$ con el método AC.

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Paso 3.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 3.3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 3) (u - 1)) = 0$

Paso 3.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 3) (u - 1) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 3.5

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 3.6

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.6.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 3.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 3) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 3, 1$

Paso 3.8

Sustituye el valor real de $u = y^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$y^{2} = 3$

${(y^{2})}^{1} = 1$

Paso 3.9

Resuelve la primera ecuación para $y$ .

$y^{2} = 3$

Paso 3.10

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 3.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

Paso 3.10.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.10.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{3}$

Paso 3.10.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{3}$

Paso 3.10.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Paso 3.11

Resuelve la segunda ecuación para $y$ .

${(y^{2})}^{1} = 1$

Paso 3.12

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 3.12.1

Elimina los paréntesis.

$y^{2} = 1$

Paso 3.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.12.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \pm 1$

Paso 3.12.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.12.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 1$

Paso 3.12.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 1$

Paso 3.12.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 1, - 1$

Paso 3.13

La solución a $- y^{4} + 4 y^{2} - 3 = 0$ es $y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$ .

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt[4]{4 y^{2} - 3} = - y$ sea verdadera.

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \sqrt{3}, - 1$

Forma decimal:

$y = - 1.73205080 \dots, - 1$