Matemática básica Ejemplos

$y^{\frac{1}{2}} - 7 y^{\frac{1}{4}} + 12 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $y^{\frac{1}{2}}$ como ${(y^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{2} - 7 y^{\frac{1}{4}} + 12 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = y^{\frac{1}{4}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y^{\frac{1}{4}}$ .

$u^{2} - 7 u + 12 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $u^{2} - 7 u + 12$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 4, - 3$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 4) (u - 3) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y^{\frac{1}{4}}$ .

$(y^{\frac{1}{4}} - 4) (y^{\frac{1}{4}} - 3) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

Paso 3

Establece $y^{\frac{1}{4}} - 4$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Establece $y^{\frac{1}{4}} - 4$ igual a $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $y^{\frac{1}{4}} - 4 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{4}} = 4$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = 4^{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 4^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 4^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = 4^{4}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Simplifica.

$y = 4^{4}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$y = 256$

Paso 4

Establece $y^{\frac{1}{4}} - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Establece $y^{\frac{1}{4}} - 3$ igual a $0$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $y^{\frac{1}{4}} - 3 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{\frac{1}{4}} = 3$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $4$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = 3^{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 3^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = 3^{4}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$y = 3^{4}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$y = 81$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y^{\frac{1}{4}} - 4) (y^{\frac{1}{4}} - 3) = 0$ verdadera.

$y = 256, 81$