Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 y + 18}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $3 y + 18$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\frac{3 (y) + 18}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Paso 1.1.2

Factoriza $3$ de $18$ .

$\frac{3 y + 3 \cdot 6}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Paso 1.1.3

Factoriza $3$ de $3 y + 3 \cdot 6$ .

$\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{y^{2} - 4 y - 12}{4 y} = 1$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} - 4 y - 12$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 6, 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} = 1$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$4 y, 4 y, 1$

Paso 2.2

Since $4 y, 4 y, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, y^{1}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.6

El MCM de $4, 4, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 2.8

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $y^{1}, y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 2.10

El MCM para $4 y, 4 y, 1$ es la parte numérica $4$ multiplicada por la parte variable.

$4 y$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} = 1$ por $4 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{3 (y + 6)}{4 y} + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} = 1$ por $4 y$ .

$\frac{3 (y + 6)}{4 y} (4 y) + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{3 (y + 6)}{4 y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$4 \frac{3 (y + 6)}{4 (y)} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{3 (y + 6)}{4 y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 (y + 6)}{y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (y + 6)}{y} y + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 (y + 6) + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 3 \cdot 6 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $3$ por $6$ .

$3 y + 18 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} (4 y) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 y + 18 + 4 \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} y = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$3 y + 18 + 4 \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 (y)} y = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$3 y + 18 + 4 \frac{(y - 6) (y + 2)}{4 y} y = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$3 y + 18 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{y} y = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.8

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Cancela el factor común.

$3 y + 18 + \frac{(y - 6) (y + 2)}{y} y = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$3 y + 18 + (y - 6) (y + 2) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.9

Expande $(y - 6) (y + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 18 + y (y + 2) - 6 (y + 2) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 18 + y \cdot y + y \cdot 2 - 6 (y + 2) = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y + 18 + y \cdot y + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2 = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.10

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.10.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 y + 18 + y^{2} + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2 = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.10.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$3 y + 18 + y^{2} + 2 \cdot y - 6 y - 6 \cdot 2 = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.10.1.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$3 y + 18 + y^{2} + 2 y - 6 y - 12 = 1 (4 y)$

Paso 3.2.1.10.2

Resta $6 y$ de $2 y$ .

$3 y + 18 + y^{2} - 4 y - 12 = 1 (4 y)$

Paso 3.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.2.1

Resta $4 y$ de $3 y$ .

$- y + 18 + y^{2} - 12 = 1 (4 y)$

Paso 3.2.2.2

Resta $12$ de $18$ .

$- y + y^{2} + 6 = 1 (4 y)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $4 y$ por $1$ .

$- y + y^{2} + 6 = 4 y$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- y + y^{2} + 6 - 4 y = 0$

Paso 4.1.2

Resta $4 y$ de $- y$ .

$- 5 y + y^{2} + 6 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$- 5 u + u^{2} + 6 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza $- 5 u + u^{2} + 6$ con el método AC.

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Paso 4.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $6$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 3, - 2$

Paso 4.2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$(y - 3) (y - 2) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

$y - 2 = 0$

Paso 4.4

Establece $y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.4.1

Establece $y - 3$ igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Paso 4.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

Paso 4.5

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.5.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 4.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 3) (y - 2) = 0$ verdadera.

$y = 3, 2$