Matemática básica Ejemplos

$(2 y + 1) (y - 1) = (y + 5 (2 y - 5))$

Paso 1

Simplifica $(2 y + 1) (y - 1)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (2 y + 1) (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(2 y + 1) (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.3

Expande $(2 y + 1) (y - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y (y - 1) + 1 (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 + 1 (y - 1) = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.1.1

Mueve $y$ .

$2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.4.1.1.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 y^{2} - 2 y + 1 y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y + 1 \cdot - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 y^{2} - 2 y + y - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 1.4.2

Suma $- 2 y$ y $y$ .

$2 y^{2} - y - 1 = y + 5 (2 y - 5)$

Paso 2

Simplifica $y + 5 (2 y - 5)$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y^{2} - y - 1 = y + 5 (2 y) + 5 \cdot - 5$

Paso 2.1.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 y^{2} - y - 1 = y + 10 y + 5 \cdot - 5$

Paso 2.1.3

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$2 y^{2} - y - 1 = y + 10 y - 25$

Paso 2.2

Suma $y$ y $10 y$ .

$2 y^{2} - y - 1 = 11 y - 25$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $11 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} - y - 1 - 11 y = - 25$

Paso 3.2

Resta $11 y$ de $- y$ .

$2 y^{2} - 12 y - 1 = - 25$

Paso 4

Suma $25$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y^{2} - 12 y - 1 + 25 = 0$

Paso 5

Suma $- 1$ y $25$ .

$2 y^{2} - 12 y + 24 = 0$

Paso 6

Factoriza $2$ de $2 y^{2} - 12 y + 24$ .

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $2 y^{2}$ .

$2 (y^{2}) - 12 y + 24 = 0$

Paso 6.2

Factoriza $2$ de $- 12 y$ .

$2 (y^{2}) + 2 (- 6 y) + 24 = 0$

Paso 6.3

Factoriza $2$ de $24$ .

$2 y^{2} + 2 (- 6 y) + 2 \cdot 12 = 0$

Paso 6.4

Factoriza $2$ de $2 y^{2} + 2 (- 6 y)$ .

$2 (y^{2} - 6 y) + 2 \cdot 12 = 0$

Paso 6.5

Factoriza $2$ de $2 (y^{2} - 6 y) + 2 \cdot 12$ .

$2 (y^{2} - 6 y + 12) = 0$

Paso 7

Divide cada término en $2 (y^{2} - 6 y + 12) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 (y^{2} - 6 y + 12) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (y^{2} - 6 y + 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y^{2} - 6 y + 12)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y^{2} - 6 y + 12$ por $1$ .

$y^{2} - 6 y + 12 = \frac{0}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$y^{2} - 6 y + 12 = 0$

Paso 8

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 9

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Paso 10.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $12$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.3

Resta $48$ de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 10.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{6 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 10.3

Simplifica $\frac{6 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = 3 \pm i \sqrt{3}$

Paso 11

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 3 + i \sqrt{3}, 3 - i \sqrt{3}$