Matemática básica Ejemplos

$(\frac{3 y - 2}{2 y - 3}) (\frac{3 y - 2}{2 y - 3}) + (\frac{3 y - 2}{2 y - 3}) = 12$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{3 y - 2}{2 y - 3}$ por $\frac{3 y - 2}{2 y - 3}$ .

$\frac{3 y - 2}{2 y - 3} (\frac{3 y - 2}{2 y - 3}) + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{3 y - 2}{2 y - 3}$ por $\frac{3 y - 2}{2 y - 3}$ .

$\frac{(3 y - 2) (3 y - 2)}{(2 y - 3) (2 y - 3)} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.3

Eleva $3 y - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 y - 2)}^{1} (3 y - 2)}{(2 y - 3) (2 y - 3)} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.4

Eleva $3 y - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 y - 2)}^{1} {(3 y - 2)}^{1}}{(2 y - 3) (2 y - 3)} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(3 y - 2)}^{1 + 1}}{(2 y - 3) (2 y - 3)} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{(2 y - 3) (2 y - 3)} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.7

Eleva $2 y - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{1} (2 y - 3)} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.8

Eleva $2 y - 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{1} {(2 y - 3)}^{1}} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{1 + 1}} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 1.10

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{2}} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

${(2 y - 3)}^{2}, 2 y - 3, 1$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.5

Los factores para $2 y - 3$ son $(2 y - 3) \cdot (2 y - 3)$ , que es $2 y - 3$ multiplicado por sí mismo $2$ veces.

$(2 y - 3) = (2 y - 3) \cdot (2 y - 3)$

$(2 y - 3)$ ocurre $2$ veces.

Paso 2.6

El factor para $2 y - 3$ es $2 y - 3$ en sí mismo.

$(2 y - 3) = 2 y - 3$

$(2 y - 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.7

El MCM de ${(2 y - 3)}^{2}, 2 y - 3$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

${(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{2}} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$ por ${(2 y - 3)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{2}} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} = 12$ por ${(2 y - 3)}^{2}$ .

$\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{2}} {(2 y - 3)}^{2} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} {(2 y - 3)}^{2} = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de ${(2 y - 3)}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(3 y - 2)}^{2}}{{(2 y - 3)}^{2}} {(2 y - 3)}^{2} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} {(2 y - 3)}^{2} = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

${(3 y - 2)}^{2} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} {(2 y - 3)}^{2} = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $2 y - 3$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Factoriza $2 y - 3$ de ${(2 y - 3)}^{2}$ .

${(3 y - 2)}^{2} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} ((2 y - 3) (2 y - 3)) = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

${(3 y - 2)}^{2} + \frac{3 y - 2}{2 y - 3} ((2 y - 3) (2 y - 3)) = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

${(3 y - 2)}^{2} + (3 y - 2) (2 y - 3) = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Expande $(3 y - 2) (2 y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y - 2)}^{2} + 3 y (2 y - 3) - 2 (2 y - 3) = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y - 2)}^{2} + 3 y (2 y) + 3 y \cdot - 3 - 2 (2 y - 3) = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y - 2)}^{2} + 3 y (2 y) + 3 y \cdot - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot - 3 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(3 y - 2)}^{2} + 3 \cdot 2 y \cdot y + 3 y \cdot - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot - 3 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.4.1.2.1

Mueve $y$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 3 \cdot 2 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot - 3 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 3 \cdot 2 y^{2} + 3 y \cdot - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot - 3 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 3 y \cdot - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot - 3 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.1.4

Multiplica $- 3$ por $3$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 9 y - 2 (2 y) - 2 \cdot - 3 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.1.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 9 y - 4 y - 2 \cdot - 3 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 9 y - 4 y + 6 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 3.2.1.4.2

Resta $4 y$ de $- 9 y$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica $12 {(2 y - 3)}^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 0 + 0 + 12 {(2 y - 3)}^{2}$

Paso 4.1.2

Reescribe ${(2 y - 3)}^{2}$ como $(2 y - 3) (2 y - 3)$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 ((2 y - 3) (2 y - 3))$

Paso 4.1.3

Expande $(2 y - 3) (2 y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (2 y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3))$

Paso 4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y - 3))$

Paso 4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (2 y (2 y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3)$

Paso 4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3)$

Paso 4.1.4.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.1.2.1

Mueve $y$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3)$

Paso 4.1.4.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3)$

Paso 4.1.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (4 y^{2} + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3)$

Paso 4.1.4.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (4 y^{2} - 6 y - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3)$

Paso 4.1.4.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (4 y^{2} - 6 y - 6 y - 3 \cdot - 3)$

Paso 4.1.4.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (4 y^{2} - 6 y - 6 y + 9)$

Paso 4.1.4.2

Resta $6 y$ de $- 6 y$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (4 y^{2} - 12 y + 9)$

Paso 4.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 12 (4 y^{2}) + 12 (- 12 y) + 12 \cdot 9$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Multiplica $4$ por $12$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 48 y^{2} + 12 (- 12 y) + 12 \cdot 9$

Paso 4.1.6.2

Multiplica $- 12$ por $12$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 48 y^{2} - 144 y + 12 \cdot 9$

Paso 4.1.6.3

Multiplica $12$ por $9$ .

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 = 48 y^{2} - 144 y + 108$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $48 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} = - 144 y + 108$

Paso 4.2.2

Suma $144 y$ a ambos lados de la ecuación.

${(3 y - 2)}^{2} + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Reescribe ${(3 y - 2)}^{2}$ como $(3 y - 2) (3 y - 2)$ .

$(3 y - 2) (3 y - 2) + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.2

Expande $(3 y - 2) (3 y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y (3 y - 2) - 2 (3 y - 2) + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y (3 y) + 3 y \cdot - 2 - 2 (3 y - 2) + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y (3 y) + 3 y \cdot - 2 - 2 (3 y) - 2 \cdot - 2 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 2 - 2 (3 y) - 2 \cdot - 2 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.3.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 2 - 2 (3 y) - 2 \cdot - 2 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 2 - 2 (3 y) - 2 \cdot - 2 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 y^{2} + 3 y \cdot - 2 - 2 (3 y) - 2 \cdot - 2 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$9 y^{2} - 6 y - 2 (3 y) - 2 \cdot - 2 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$9 y^{2} - 6 y - 6 y - 2 \cdot - 2 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$9 y^{2} - 6 y - 6 y + 4 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.3.3.2

Resta $6 y$ de $- 6 y$ .

$9 y^{2} - 12 y + 4 + 6 y^{2} - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.4

Suma $9 y^{2}$ y $6 y^{2}$ .

$15 y^{2} - 12 y + 4 - 13 y + 6 - 48 y^{2} + 144 y = 108$

Paso 4.2.5

Resta $48 y^{2}$ de $15 y^{2}$ .

$- 33 y^{2} - 12 y + 4 - 13 y + 6 + 144 y = 108$

Paso 4.2.6

Resta $13 y$ de $- 12 y$ .

$- 33 y^{2} - 25 y + 4 + 6 + 144 y = 108$

Paso 4.2.7

Suma $- 25 y$ y $144 y$ .

$- 33 y^{2} + 119 y + 4 + 6 = 108$

Paso 4.2.8

Suma $4$ y $6$ .

$- 33 y^{2} + 119 y + 10 = 108$

Paso 4.3

Resta $108$ de ambos lados de la ecuación.

$- 33 y^{2} + 119 y + 10 - 108 = 0$

Paso 4.4

Resta $108$ de $10$ .

$- 33 y^{2} + 119 y - 98 = 0$

Paso 4.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.1

Factoriza $- 1$ de $- 33 y^{2} + 119 y - 98$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 33 y^{2}$ .

$- (33 y^{2}) + 119 y - 98 = 0$

Paso 4.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $119 y$ .

$- (33 y^{2}) - (- 119 y) - 98 = 0$

Paso 4.5.1.3

Reescribe $- 98$ como $- 1 (98)$ .

$- (33 y^{2}) - (- 119 y) - 1 \cdot 98 = 0$

Paso 4.5.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (33 y^{2}) - (- 119 y)$ .

$- (33 y^{2} - 119 y) - 1 \cdot 98 = 0$

Paso 4.5.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (33 y^{2} - 119 y) - 1 (98)$ .

$- (33 y^{2} - 119 y + 98) = 0$

Paso 4.5.2

Factoriza.

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Paso 4.5.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 33 \cdot 98 = 3234$ y cuya suma es $b = - 119$ .

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Paso 4.5.2.1.1.1

Factoriza $- 119$ de $- 119 y$ .

$- (33 y^{2} - 119 y + 98) = 0$

Paso 4.5.2.1.1.2

Reescribe $- 119$ como $- 42$ más $- 77$

$- (33 y^{2} + (- 42 - 77) y + 98) = 0$

Paso 4.5.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (33 y^{2} - 42 y - 77 y + 98) = 0$

Paso 4.5.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((33 y^{2} - 42 y) - 77 y + 98) = 0$

Paso 4.5.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (3 y (11 y - 14) - 7 (11 y - 14)) = 0$

Paso 4.5.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $11 y - 14$ .

$- ((11 y - 14) (3 y - 7)) = 0$

Paso 4.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (11 y - 14) (3 y - 7) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$11 y - 14 = 0$

$3 y - 7 = 0$

Paso 4.7

Establece $11 y - 14$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.7.1

Establece $11 y - 14$ igual a $0$ .

$11 y - 14 = 0$

Paso 4.7.2

Resuelve $11 y - 14 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.7.2.1

Suma $14$ a ambos lados de la ecuación.

$11 y = 14$

Paso 4.7.2.2

Divide cada término en $11 y = 14$ por $11$ y simplifica.

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Paso 4.7.2.2.1

Divide cada término en $11 y = 14$ por $11$ .

$\frac{11 y}{11} = \frac{14}{11}$

Paso 4.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 4.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 y}{11} = \frac{14}{11}$

Paso 4.7.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{14}{11}$

Paso 4.8

Establece $3 y - 7$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.8.1

Establece $3 y - 7$ igual a $0$ .

$3 y - 7 = 0$

Paso 4.8.2

Resuelve $3 y - 7 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.8.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 7$

Paso 4.8.2.2

Divide cada término en $3 y = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.8.2.2.1

Divide cada término en $3 y = 7$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 4.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 4.8.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{7}{3}$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (11 y - 14) (3 y - 7) = 0$ verdadera.

$y = \frac{14}{11}, \frac{7}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{14}{11}, \frac{7}{3}$

Forma decimal:

$y = 1.\overline{27}, 2.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$y = 1 \frac{3}{11}, 2 \frac{1}{3}$