Matemática básica Ejemplos

$20 x^{2} - 9 x \geq 20$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$20 x^{2} - 9 x = 20$

Paso 2

Resta $20$ de ambos lados de la ecuación.

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 20 \cdot - 20 = - 400$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$20 x^{2} - 9 x - 20 = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 9$ como $16$ más $- 25$

$20 x^{2} + (16 - 25) x - 20 = 0$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$20 x^{2} + 16 x - 25 x - 20 = 0$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(20 x^{2} + 16 x) - 25 x - 20 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 x (5 x + 4) - 5 (5 x + 4) = 0$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x + 4$ .

$(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 x + 4 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Paso 5

Establece $5 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $5 x + 4$ igual a $0$ .

$5 x + 4 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $5 x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 4$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $5 x = - 4$ por $5$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $5 x = - 4$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Paso 5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{5}$

Paso 6

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $4 x - 5$ igual a $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $4 x - 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 5$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 5$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 x + 4) (4 x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{4}{5}, \frac{5}{4}$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{4}{5}$

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$

$x > \frac{5}{4}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{4}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{4}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$20 {(- 3)}^{2} - 9 \cdot - 3 \geq 20$

Paso 9.1.3

$207$ del lado izquierdo es mayor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$20 {(0)}^{2} - 9 \cdot 0 \geq 20$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{5}{4}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{5}{4}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$20 {(4)}^{2} - 9 \cdot 4 \geq 20$

Paso 9.3.3

$284$ del lado izquierdo es mayor que $20$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{4}{5}$ Verdadero

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Falso

$x > \frac{5}{4}$ Verdadero

$x < - \frac{4}{5}$ Verdadero

$- \frac{4}{5} < x < \frac{5}{4}$ Falso

$x > \frac{5}{4}$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{4}{5}$ o $x \geq \frac{5}{4}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - \frac{4}{5} or x \geq \frac{5}{4}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{4}{5}] \cup [\frac{5}{4}, \infty)$

Paso 12