Matemática básica Ejemplos

$\frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 4$

Paso 1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Paso 2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \frac{\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}{2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 \cdot \sqrt[6]{64^{- 3}} \cdot 4$ .

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Paso 2.2.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{64^{3}}} \cdot 4$

Paso 2.2.1.2

Eleva $64$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \sqrt[6]{\frac{1}{262144}} \cdot 4$

Paso 2.2.1.3

Reescribe $\sqrt[6]{\frac{1}{262144}}$ como $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}}$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Paso 2.2.1.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{262144}} \cdot 4$

Paso 2.2.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1.5.1

Reescribe $262144$ como $8^{6}$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt[6]{8^{6}}} \cdot 4$

Paso 2.2.1.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4$

Paso 2.2.1.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1.6.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.6.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 (4)} \cdot 4$

Paso 2.2.1.6.1.2

Cancela el factor común.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 4$

Paso 2.2.1.6.1.3

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Paso 2.2.1.6.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot 4$

Paso 2.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}} = 1$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}}^{3} = 1^{3}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{16^{\frac{z}{2}}}$ como $16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}}$ .

${(16^{\frac{\frac{z}{2}}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 4.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${(16^{\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 4.3

Multiplica $\frac{z}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{z}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

${(16^{\frac{z}{2 \cdot 3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

${(16^{\frac{z}{6}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 4.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1

Multiplica los exponentes en ${(16^{\frac{z}{6}})}^{3}$ .

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Paso 4.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{z}{6} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 4.4.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$16^{\frac{z}{3 (2)} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 4.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$16^{\frac{z}{3 \cdot 2} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 4.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$16^{\frac{z}{2}} = 1^{3}$

Paso 4.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$16^{\frac{z}{2}} = 1$

Paso 5

Resuelve $z$

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Paso 5.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (16^{\frac{z}{2}}) = \ln (1)$

Paso 5.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Expande $\ln (16^{\frac{z}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{z}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{z}{2} \ln (16) = \ln (1)$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{z}{2}$ y $\ln (16)$ .

$\frac{z \ln (16)}{2} = \ln (1)$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{z \ln (16)}{2} = 0$

Paso 5.4

Establece el numerador igual a cero.

$z \ln (16) = 0$

Paso 5.5

Divide cada término en $z \ln (16) = 0$ por $\ln (16)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $z \ln (16) = 0$ por $\ln (16)$ .

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (16)$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{z \ln (16)}{\ln (16)} = \frac{0}{\ln (16)}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{0}{\ln (16)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Reescribe $\ln (16)$ como $\ln (2^{4})$ .

$z = \frac{0}{\ln (2^{4})}$

Paso 5.5.3.2

Expande $\ln (2^{4})$ ; para ello, mueve $4$ fuera del logaritmo.

$z = \frac{0}{4 \ln (2)}$

Paso 5.5.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 5.5.3.3.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$z = \frac{4 (0)}{4 \ln (2)}$

Paso 5.5.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $4 \ln (2)$ .

$z = \frac{4 (0)}{4 (\ln (2))}$

Paso 5.5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$z = \frac{4 \cdot 0}{4 \ln (2)}$

Paso 5.5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$z = \frac{0}{\ln (2)}$

Paso 5.5.3.4

Divide $0$ por $\ln (2)$ .

$z = 0$