Matemática básica Ejemplos

$({(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}) = \frac{125}{27}$

Paso 1

Simplifica ${(\frac{3}{5})}^{z} {(\frac{5}{3})}^{2 z}$ .

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Paso 1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3^{z}}{5^{z}} {(\frac{5}{3})}^{2 z} = \frac{125}{27}$

Paso 1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

$\frac{3^{z}}{5^{z}} \cdot \frac{5^{2 z}}{3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{3^{z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $3^{z}$ y $3^{2 z}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $3^{2 z}$ de $3^{z} \cdot 5^{2 z}$ .

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{5^{z} \cdot 3^{2 z}} = \frac{125}{27}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $3^{2 z}$ de $5^{z} \cdot 3^{2 z}$ .

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3^{2 z} (3^{- z} \cdot 5^{2 z})}{3^{2 z} \cdot 5^{z}} = \frac{125}{27}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{2 z}}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $5^{2 z}$ y $5^{z}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $5^{z}$ de $3^{- z} \cdot 5^{2 z}$ .

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z}} = \frac{125}{27}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5^{z} (3^{- z} \cdot 5^{z})}{5^{z} \cdot 1} = \frac{125}{27}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{- z} \cdot 5^{z}}{1} = \frac{125}{27}$

Paso 1.4.2.4

Divide $3^{- z} \cdot 5^{z}$ por $1$ .

$3^{- z} \cdot 5^{z} = \frac{125}{27}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{- z} \cdot 5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (3^{- z} \cdot 5^{z})$ como $\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z})$ .

$\ln (3^{- z}) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 3.2

Expande $\ln (3^{- z})$ ; para ello, mueve $- z$ fuera del logaritmo.

$- z \ln (3) + \ln (5^{z}) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 3.3

Expande $\ln (5^{z})$ ; para ello, mueve $z$ fuera del logaritmo.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- z \ln (3) + z \ln (5) - \ln (\frac{125}{27}) = 0$

Paso 5

Suma $\ln (\frac{125}{27})$ a ambos lados de la ecuación.

$- z \ln (3) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 6

Factoriza $z$ de $- z \ln (3) + z \ln (5)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $z$ de $- z \ln (3)$ .

$z (- 1 \ln (3)) + z \ln (5) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 6.2

Factoriza $z$ de $z \ln (5)$ .

$z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 6.3

Factoriza $z$ de $z (- 1 \ln (3)) + z (\ln (5))$ .

$z (- 1 \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 7

Reescribe $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$

Paso 8

Divide cada término en $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ por $- \ln (3) + \ln (5)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $z (- \ln (3) + \ln (5)) = \ln (\frac{125}{27})$ por $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (3) + \ln (5)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{z (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Paso 8.3.2

Factoriza $- 1$ de $\ln (5)$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- \ln (3) - 1 (- \ln (5))}$

Paso 8.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (3) - 1 (- \ln (5))$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- (\ln (3) - \ln (5))}$

Paso 8.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 8.3.4.1

Reescribe $- (\ln (3) - \ln (5))$ como $- 1 (\ln (3) - \ln (5))$ .

$z = \frac{\ln (\frac{125}{27})}{- 1 (\ln (3) - \ln (5))}$

Paso 8.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$z = - \frac{\ln (\frac{125}{27})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$z = 3$