Matemática básica Ejemplos

$16 = 3 (z - 1) (z - 7)$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ .

$3 (z - 1) (z - 7) = 16$

Paso 2

Divide cada término en $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $3 (z - 1) (z - 7) = 16$ por $3$ .

$\frac{3 (z - 1) (z - 7)}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (z - 1) (z - 7)}{3} = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.1.2

Divide $(z - 1) (z - 7)$ por $1$ .

$(z - 1) (z - 7) = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.2

Expande $(z - 1) (z - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$z (z - 7) - 1 (z - 7) = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$z \cdot z + z \cdot - 7 - 1 (z - 7) = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$z \cdot z + z \cdot - 7 - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Multiplica $z$ por $z$ .

$z^{2} + z \cdot - 7 - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve $- 7$ a la izquierda de $z$ .

$z^{2} - 7 \cdot z - 1 z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.3.1.3

Reescribe $- 1 z$ como $- z$ .

$z^{2} - 7 z - z - 1 \cdot - 7 = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$z^{2} - 7 z - z + 7 = \frac{16}{3}$

Paso 2.2.3.2

Resta $z$ de $- 7 z$ .

$z^{2} - 8 z + 7 = \frac{16}{3}$

Paso 3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1

Resta $\frac{16}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$z^{2} - 8 z + 7 - \frac{16}{3} = 0$

Paso 3.2

Simplifica $z^{2} - 8 z + 7 - \frac{16}{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} - 8 z + 7 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Paso 3.2.2

Combina $7$ y $\frac{3}{3}$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{7 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} = 0$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$z^{2} - 8 z + \frac{7 \cdot 3 - 16}{3} = 0$

Paso 3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $7$ por $3$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{21 - 16}{3} = 0$

Paso 3.2.4.2

Resta $16$ de $21$ .

$z^{2} - 8 z + \frac{5}{3} = 0$

Paso 4

Multiplica por el mínimo común denominador $3$ , luego simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 z^{2} + 3 (- 8 z) + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$3 z^{2} - 24 z + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 z^{2} - 24 z + 3 (\frac{5}{3}) = 0$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$3 z^{2} - 24 z + 5 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 24$ y $c = 5$ en la fórmula cuadrática y resuelve $z$ .

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $5$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 60}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.1.3

Resta $60$ de $576$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{516}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.1.4

Reescribe $516$ como $2^{2} \cdot 129$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $4$ de $516$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{4 (129)}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \frac{24 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 129}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$z = \frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{2 \cdot 3}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$z = \frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{6}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{24 \pm 2 \sqrt{129}}{6}$ .

$z = \frac{12 \pm \sqrt{129}}{3}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$z = \frac{12 + \sqrt{129}}{3}, \frac{12 - \sqrt{129}}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$z = \frac{12 + \sqrt{129}}{3}, \frac{12 - \sqrt{129}}{3}$

Forma decimal:

$z = 7.78593889 \dots, 0.21406110 \dots$