Matemática básica Ejemplos

$12 z^{\frac{2}{5}} + 7 z^{\frac{1}{5}} = - 1$

Paso 1

Obtén un factor común $z^{\frac{1}{5}}$ que esté presente en cada término.

$12 {(z^{\frac{1}{5}})}^{2} + 7 z^{\frac{1}{5}} + 1$

Paso 2

Sustituye $u$ por $z^{\frac{1}{5}}$ .

$12 {(u)}^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Multiplica $7$ por $u$ .

$12 u^{2} + 7 u + 1 = 0$

Paso 3.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot 1 = 12$ y cuya suma es $b = 7$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $7$ de $7 u$ .

$12 u^{2} + 7 (u) + 1 = 0$

Paso 3.2.1.2

Reescribe $7$ como $3$ más $4$

$12 u^{2} + (3 + 4) u + 1 = 0$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 u^{2} + 3 u + 4 u + 1 = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(12 u^{2} + 3 u) + 4 u + 1 = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1) = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $4 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $4 u + 1$ igual a $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $4 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 u = - 1$

Paso 3.4.2.2

Divide cada término en $4 u = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.2.1

Divide cada término en $4 u = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 3.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 3.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Paso 3.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{4}$

Paso 3.5

Establece $3 u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $3 u + 1$ igual a $0$ .

$3 u + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $3 u + 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 u = - 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $3 u = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $3 u = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{3}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$u = - \frac{1}{3}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 u + 1) (3 u + 1) = 0$ verdadera.

$u = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Paso 4

Sustituye $z$ por $u$ .

$z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}, - \frac{1}{3}$

Paso 5

Resuelve para $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{4}$ en $z$ .

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Paso 5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Paso 5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Paso 5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{1} = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica.

$z = {(- \frac{1}{4})}^{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica ${(- \frac{1}{4})}^{5}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{4}$ .

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{4})}^{5}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Paso 5.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{4^{5}}$

Paso 5.2.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z = - \frac{1}{4^{5}}$

Paso 5.2.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$z = - \frac{1}{1024}$

Paso 6

Resuelve para $z^{\frac{1}{5}} = - \frac{1}{3}$ en $z$ .

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Paso 6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(z^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Paso 6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.1

Simplifica ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Paso 6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica.

$z = {(- \frac{1}{3})}^{5}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica ${(- \frac{1}{3})}^{5}$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$z = {(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$z = {(- 1)}^{5} \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Paso 6.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$z = - \frac{1^{5}}{3^{5}}$

Paso 6.2.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$z = - \frac{1}{3^{5}}$

Paso 6.2.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$z = - \frac{1}{243}$

Paso 7

Enumera todas las soluciones.

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$z = - \frac{1}{1024}, - \frac{1}{243}$

Forma decimal:

$z = - 0.00097656 \dots, - 0.00411522 \dots$