Matemática básica Ejemplos

$(\frac{1}{a^{2} + 5}) - (\frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}}) + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 1

Para escribir $\frac{1}{a^{2} + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5}$ .

$\frac{1}{a^{2} + 5} \cdot \frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 2

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(a^{2} + 5)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{a^{2} + 5}$ por $\frac{a^{2} + 5}{a^{2} + 5}$ .

$\frac{a^{2} + 5}{(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 2.2

Eleva $a^{2} + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1} (a^{2} + 5)} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 2.3

Eleva $a^{2} + 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1} {(a^{2} + 5)}^{1}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{1 + 1}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} - \frac{a^{2} - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a^{2} + 5 - (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} + 5 - a^{2} - - 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{a^{2} + 5 - a^{2} + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 4.3

Resta $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{0 + 5 + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 4.4

Suma $0$ y $5$ .

$\frac{5 + 5}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 4.5

Suma $5$ y $5$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 5

Para escribir $\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5}$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5} + \frac{1}{a^{2} - 5}$

Paso 6

Para escribir $\frac{1}{a^{2} - 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5} + \frac{1}{a^{2} - 5} \cdot \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 7

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{10}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ por $\frac{a^{2} - 5}{a^{2} - 5}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{1}{a^{2} - 5} \cdot \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{a^{2} - 5}$ por $\frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}}$

Paso 7.3

Reordena los factores de $(a^{2} - 5) {(a^{2} + 5)}^{2}$ .

$\frac{10 (a^{2} - 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)} + \frac{{(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{10 (a^{2} - 5) + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a^{2} + 10 \cdot - 5 + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.2

Multiplica $10$ por $- 5$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + {(a^{2} + 5)}^{2}}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.3

Reescribe ${(a^{2} + 5)}^{2}$ como $(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + (a^{2} + 5) (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.4

Expande $(a^{2} + 5) (a^{2} + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 9.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} (a^{2} + 5) + 5 (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot 5 + 5 (a^{2} + 5)}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.5.1.1

Multiplica $a^{2}$ por $a^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 9.5.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{2 + 2} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.5.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + a^{2} \cdot 5 + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.5.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $a^{2}$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 5 \cdot a^{2} + 5 a^{2} + 5 \cdot 5}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.5.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 5 a^{2} + 5 a^{2} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.5.2

Suma $5 a^{2}$ y $5 a^{2}$ .

$\frac{10 a^{2} - 50 + a^{4} + 10 a^{2} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.6

Suma $10 a^{2}$ y $10 a^{2}$ .

$\frac{20 a^{2} - 50 + a^{4} + 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.7

Suma $- 50$ y $25$ .

$\frac{20 a^{2} + a^{4} - 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$

Paso 9.8

Reordena los términos.

$\frac{a^{4} + 20 a^{2} - 25}{{(a^{2} + 5)}^{2} (a^{2} - 5)}$