Matemática básica Ejemplos

$(\frac{y^{2} + 15 y + 56}{y^{2} + 17 y + 72}) - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} + 15 y + 56$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $56$ y cuya suma es $15$ .

$7, 8$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{y^{2} + 17 y + 72} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Paso 1.2

Factoriza $y^{2} + 17 y + 72$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $72$ y cuya suma es $17$ .

$8, 9$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{(y + 8) (y + 9)} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $y + 8$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y + 7) (y + 8)}{(y + 8) (y + 9)} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y + 7}{y + 9} - (\frac{y^{2} + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81})$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $y^{2} + 7 y$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y \cdot y + 7 y}{y^{2} + 18 y + 81}$

Paso 1.4.2

Factoriza $y$ de $7 y$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y \cdot y + y \cdot 7}{y^{2} + 18 y + 81}$

Paso 1.4.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y \cdot 7$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 18 y + 81}$

Paso 1.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.5.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 18 y + 9^{2}}$

Paso 1.5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$18 y = 2 \cdot y \cdot 9$

Paso 1.5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 9 + 9^{2}}$

Paso 1.5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = y$ y $b = 9$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 2

Para escribir $\frac{y + 7}{y + 9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{y + 7}{y + 9} \cdot \frac{y + 9}{y + 9} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${(y + 9)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{y + 7}{y + 9}$ por $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{(y + 9) (y + 9)} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 3.2

Eleva $y + 9$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1} (y + 9)} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 3.3

Eleva $y + 9$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1} {(y + 9)}^{1}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{1 + 1}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9)}{{(y + 9)}^{2}} - \frac{y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(y + 7) (y + 9) - y (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Factoriza $y + 7$ de $(y + 7) (y + 9) - y (y + 7)$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $y + 7$ de $- y (y + 7)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9) + (y + 7) (- y)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Factoriza $y + 7$ de $(y + 7) (y + 9) + (y + 7) (- y)$ .

$\frac{(y + 7) (y + 9 - y)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 5.2

Resta $y$ de $y$ .

$\frac{(y + 7) (0 + 9)}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 5.3

Suma $0$ y $9$ .

$\frac{(y + 7) \cdot 9}{{(y + 9)}^{2}}$

Paso 6

Mueve $9$ a la izquierda de $y + 7$ .

$\frac{9 (y + 7)}{{(y + 9)}^{2}}$