Matemática básica Ejemplos

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} - \frac{m - n}{m + n})$

Paso 1

Para escribir $\frac{m + n}{m - n}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n})$

Paso 2

Para escribir $- \frac{m - n}{m + n}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{m + n}{m - n} \cdot \frac{m + n}{m + n} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(m - n) (m + n)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{m + n}{m - n}$ por $\frac{m + n}{m + n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{m - n}{m + n} \cdot \frac{m - n}{m - n})$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{m - n}{m + n}$ por $\frac{m - n}{m - n}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m - n) (m + n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Paso 3.3

Reordena los factores de $(m - n) (m + n)$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot (\frac{(m + n) (m + n)}{(m + n) (m - n)} - \frac{(m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)})$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n) (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Eleva $m + n$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} (m + n) - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.2

Eleva $m + n$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1} {(m + n)}^{1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{1 + 1} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.4

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - (m - n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.5

Reescribe $(m - n) (m - n)$ como ${(m - n)}^{2}$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{{(m + n)}^{2} - {(m - n)}^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = m + n$ y $b = m - n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(m + n + m - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7

Simplifica.

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Paso 5.7.1

Suma $m$ y $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + n - n) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.2

Resta $n$ de $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{(2 m + 0) (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.3

Suma $2 m$ y $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - (m - n))}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m - - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.5

Multiplica $- - n$ .

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Paso 5.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + 1 n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.5.2

Multiplica $n$ por $1$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (m + n - m + n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.6

Resta $m$ de $m$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + 0 + n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.7

Suma $n$ y $0$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m (n + n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.8

Suma $n$ y $n$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{2 m \cdot 2 n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 5.7.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \cdot \frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 6

Multiplica $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ por $\frac{4 m n}{(m + n) (m - n)}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) (4 m n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Para escribir $\frac{m}{n}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.2

Para escribir $- \frac{n}{m}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m}{n} \cdot \frac{m}{m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $n m$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{m}{n}$ por $\frac{m}{m}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n}{m} \cdot \frac{n}{n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{n}{m}$ por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{n m} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.3.3

Reordena los factores de $n m$ .

$\frac{(\frac{m \cdot m}{m n} - \frac{n \cdot n}{m n}) \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{m \cdot m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.5.2

Eleva $m$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{m^{1} m^{1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{m^{1 + 1} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n \cdot n}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.5.5

Reescribe $n \cdot n$ como $n^{2}$ .

$\frac{\frac{m^{2} - n^{2}}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.5.6

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = m$ y $b = n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n)}{m n} \cdot 4 m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.6

Combina exponentes.

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Paso 7.6.1

Combina $\frac{(m + n) (m - n)}{m n}$ y $4$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n} m n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.6.2

Combina $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{m n}$ y $m$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n} n}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.6.3

Combina $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m}{m n}$ y $n$ .

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.7

Reduce la expresión $\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 m n}{m n}}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.8

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 7.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4 n}{n}}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.8.2

Divide $(m + n) (m - n) \cdot 4$ por $1$ .

$\frac{(m + n) (m - n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.9

Expande $(m + n) (m - n)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(m (m - n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n (m - n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.10

Combina los términos opuestos en $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

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Paso 7.10.1

Reordena los factores en los términos $m (- n)$ y $n m$ .

$\frac{(m \cdot m - m n + m n + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.10.2

Suma $- m n$ y $m n$ .

$\frac{(m \cdot m + 0 + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.10.3

Suma $m \cdot m$ y $0$ .

$\frac{(m \cdot m + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.11

Simplifica cada término.

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Paso 7.11.1

Multiplica $m$ por $m$ .

$\frac{(m^{2} + n (- n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.11.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{(m^{2} - n \cdot n) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.11.3

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 7.11.3.1

Mueve $n$ .

$\frac{(m^{2} - (n \cdot n)) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.11.3.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$\frac{(m^{2} - n^{2}) \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.12

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{m^{2} \cdot 4 - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.13

Mueve $4$ a la izquierda de $m^{2}$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - n^{2} \cdot 4}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.14

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 \cdot m^{2} - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.15

Factoriza $4$ de $4 m^{2} - 4 n^{2}$ .

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Paso 7.15.1

Factoriza $4$ de $4 m^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) - 4 n^{2}}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.15.2

Factoriza $4$ de $- 4 n^{2}$ .

$\frac{4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.15.3

Factoriza $4$ de $4 (m^{2}) + 4 (- n^{2})$ .

$\frac{4 (m^{2} - n^{2})}{(m + n) (m - n)}$

Paso 7.16

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = m$ y $b = n$ .

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $m + n$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (m + n) (m - n)}{(m + n) (m - n)}$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $m - n$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (m - n)}{m - n}$

Paso 8.2.2

Divide $4$ por $1$ .

$4$