Matemática básica Ejemplos

$\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 1, y, 8$

Paso 1.2

Since $y - 1, y, 8$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Los pasos para obtener el MCM para $y - 1, y, 8$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $1, 1, 8$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $y^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $y - 1$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.5

Los factores primos para $8$ son $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 1.5.1

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 4$

Paso 1.5.2

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 1.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 1.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2$

Paso 1.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8$

Paso 1.7

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.8

El MCM de $y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 1.9

El factor para $y - 1$ es $y - 1$ en sí mismo.

$(y - 1) = y - 1$

$(y - 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 1.10

El MCM de $y - 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y - 1$

Paso 1.11

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$8 y (y - 1)$

Paso 2

Multiplica cada término en $\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$ por $8 y (y - 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $\frac{7}{y - 1} + \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$ por $8 y (y - 1)$ .

$\frac{7}{y - 1} (8 y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \frac{7}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $8 \frac{7}{y - 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Combina $8$ y $\frac{7}{y - 1}$ .

$\frac{8 \cdot 7}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $8$ por $7$ .

$\frac{56}{y - 1} (y (y - 1)) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.3

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Factoriza $y - 1$ de $y (y - 1)$ .

$\frac{56}{y - 1} ((y - 1) y) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{56}{y - 1} ((y - 1) y) + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$56 y + \frac{1}{y} (8 y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$56 y + 8 \frac{1}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.5

Combina $8$ y $\frac{1}{y}$ .

$56 y + \frac{8}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$56 y + \frac{8}{y} (y (y - 1)) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$56 y + 8 (y - 1) = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$56 y + 8 y + 8 \cdot - 1 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.1.8

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$56 y + 8 y - 8 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.2.2

Suma $56 y$ y $8 y$ .

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 y (y - 1))$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $8$ de $8 y (y - 1)$ .

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 (y (y - 1)))$

Paso 2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$64 y - 8 = \frac{9}{8} (8 (y (y - 1)))$

Paso 2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$64 y - 8 = 9 (y (y - 1))$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$64 y - 8 = 9 (y \cdot y + y \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.3.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} + y \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} - 1 \cdot y)$

Paso 2.3.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$64 y - 8 = 9 (y^{2} - y)$

Paso 2.3.3

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 2.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$64 y - 8 = 9 y^{2} + 9 (- y)$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$64 y - 8 = 9 y^{2} - 9 y$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$9 y^{2} - 9 y = 64 y - 8$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $64 y$ de ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} - 9 y - 64 y = - 8$

Paso 3.2.2

Resta $64 y$ de $- 9 y$ .

$9 y^{2} - 73 y = - 8$

Paso 3.3

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} - 73 y + 8 = 0$

Paso 3.4

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 8 = 72$ y cuya suma es $b = - 73$ .

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Paso 3.4.1.1

Factoriza $- 73$ de $- 73 y$ .

$9 y^{2} - 73 y + 8 = 0$

Paso 3.4.1.2

Reescribe $- 73$ como $- 1$ más $- 72$

$9 y^{2} + (- 1 - 72) y + 8 = 0$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y^{2} - 1 y - 72 y + 8 = 0$

Paso 3.4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(9 y^{2} - 1 y) - 72 y + 8 = 0$

Paso 3.4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y (9 y - 1) - 8 (9 y - 1) = 0$

Paso 3.4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 y - 1$ .

$(9 y - 1) (y - 8) = 0$

Paso 3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 y - 1 = 0$

$y - 8 = 0$

Paso 3.6

Establece $9 y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $9 y - 1$ igual a $0$ .

$9 y - 1 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $9 y - 1 = 0$ en $y$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y = 1$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $9 y = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $9 y = 1$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{9}$

Paso 3.7

Establece $y - 8$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.7.1

Establece $y - 8$ igual a $0$ .

$y - 8 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 8$

Paso 3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 y - 1) (y - 8) = 0$ verdadera.

$y = \frac{1}{9}, 8$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{1}{9}, 8$

Forma decimal:

$y = 0.\overline{1}, 8$