Matemática básica Ejemplos

$\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{16 y + 1}}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{16 y + 1}$ como ${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(16 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(16 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(16 y + 1)}^{1} = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$16 y + 1 = {(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(2 \sqrt{7 y} - 1)}^{2}$ como $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ .

$16 y + 1 = (2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(2 \sqrt{7 y} - 1) (2 \sqrt{7 y} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y} - 1) - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y} - 1)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$16 y + 1 = 2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $2 \sqrt{7 y} (2 \sqrt{7 y})$ .

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Paso 2.3.1.3.1.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 y + 1 = 4 \sqrt{7 y} \sqrt{7 y} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{7 y}$ a la potencia de $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} \sqrt{7 y}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.1.3

Eleva $\sqrt{7 y}$ a la potencia de $1$ .

$16 y + 1 = 4 ({\sqrt{7 y}}^{1} {\sqrt{7 y}}^{1}) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$16 y + 1 = 4 {\sqrt{7 y}}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{7 y}}^{2}$ como $7 y$ .

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 y}$ como ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 y + 1 = 4 {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$16 y + 1 = 4 {(7 y)}^{1} + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$16 y + 1 = 4 (7 y) + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $7$ por $4$ .

$16 y + 1 = 28 y + 2 \sqrt{7 y} \cdot - 1 - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 1 (2 \sqrt{7 y}) - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} - 1 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$16 y + 1 = 28 y - 2 \sqrt{7 y} - 2 \sqrt{7 y} + 1$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $2 \sqrt{7 y}$ de $- 2 \sqrt{7 y}$ .

$16 y + 1 = 28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1$

Paso 3

Resuelve $- 4 \sqrt{7 y}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$ .

$28 y - 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 4 \sqrt{7 y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $28 y$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{7 y} + 1 = 16 y + 1 - 28 y$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y + 1 - 28 y - 1$

Paso 3.2.3

Combina los términos opuestos en $16 y + 1 - 28 y - 1$ .

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Paso 3.2.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y + 0$

Paso 3.2.3.2

Suma $16 y - 28 y$ y $0$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = 16 y - 28 y$

Paso 3.2.4

Resta $28 y$ de $16 y$ .

$- 4 \sqrt{7 y} = - 12 y$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 4 \sqrt{7 y})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 y}$ como ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(- 4 {(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $7 y$ .

${(- 4 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $- 4 \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$16 \cdot {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

$16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$16 \cdot 7^{1} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Evalúa el exponente.

$16 \cdot 7 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $16$ por $7$ .

$112 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.7

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.7.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.7.2.1

Cancela el factor común.

$112 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.7.2.2

Reescribe la expresión.

$112 y^{1} = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.2.1.8

Simplifica.

$112 y = {(- 12 y)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(- 12 y)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 12 y$ .

$112 y = {(- 12)}^{2} y^{2}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$112 y = 144 y^{2}$

Paso 6

Resuelve $y$

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Paso 6.1

Resta $144 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$112 y - 144 y^{2} = 0$

Paso 6.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.2.1

Sea $u = y$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $y$ .

$112 u - 144 u^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $16 u$ de $112 u - 144 u^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $16 u$ de $112 u$ .

$16 u (7) - 144 u^{2} = 0$

Paso 6.2.2.2

Factoriza $16 u$ de $- 144 u^{2}$ .

$16 u (7) + 16 u (- 9 u) = 0$

Paso 6.2.2.3

Factoriza $16 u$ de $16 u (7) + 16 u (- 9 u)$ .

$16 u (7 - 9 u) = 0$

Paso 6.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$16 y (7 - 9 y) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$7 - 9 y = 0$

Paso 6.4

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

Paso 6.5

Establece $7 - 9 y$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.5.1

Establece $7 - 9 y$ igual a $0$ .

$7 - 9 y = 0$

Paso 6.5.2

Resuelve $7 - 9 y = 0$ en $y$ .

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Paso 6.5.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 9 y = - 7$

Paso 6.5.2.2

Divide cada término en $- 9 y = - 7$ por $- 9$ y simplifica.

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Paso 6.5.2.2.1

Divide cada término en $- 9 y = - 7$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Paso 6.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 9$ .

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Paso 6.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- 7}{- 9}$

Paso 6.5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 9}$

Paso 6.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{7}{9}$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $16 y (7 - 9 y) = 0$ verdadera.

$y = 0, \frac{7}{9}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{16 y + 1} = 2 \sqrt{7 y} - 1$ sea verdadera.

$y = \frac{7}{9}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = \frac{7}{9}$

Forma decimal:

$y = 0.\overline{7}$