Matemática básica Ejemplos

$\sqrt{15 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 7$

Paso 1

Suma $\sqrt{y + 16}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{15 y + 9} = 7 + \sqrt{y + 16}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{15 y + 9}}^{2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{15 y + 9}$ como ${(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(15 y + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(15 y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(15 y + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(15 y + 9)}^{1} = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$15 y + 9 = {(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(7 + \sqrt{y + 16})}^{2}$ como $(7 + \sqrt{y + 16}) (7 + \sqrt{y + 16})$ .

$15 y + 9 = (7 + \sqrt{y + 16}) (7 + \sqrt{y + 16})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(7 + \sqrt{y + 16}) (7 + \sqrt{y + 16})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$15 y + 9 = 7 (7 + \sqrt{y + 16}) + \sqrt{y + 16} (7 + \sqrt{y + 16})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$15 y + 9 = 7 \cdot 7 + 7 \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} (7 + \sqrt{y + 16})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$15 y + 9 = 7 \cdot 7 + 7 \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 7 + \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 7 + \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $7$ a la izquierda de $\sqrt{y + 16}$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \cdot \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{y + 16}$ a la potencia de $1$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16}$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{y + 16}$ a la potencia de $1$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {\sqrt{y + 16}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ como $y + 16$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 16}$ como ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + {(y + 16)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$15 y + 9 = 49 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + y + 16$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $49$ y $16$ .

$15 y + 9 = 65 + 7 \sqrt{y + 16} + 7 \sqrt{y + 16} + y$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $7 \sqrt{y + 16}$ y $7 \sqrt{y + 16}$ .

$15 y + 9 = 65 + 14 \sqrt{y + 16} + y$

Paso 4

Resuelve $14 \sqrt{y + 16}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $65 + 14 \sqrt{y + 16} + y = 15 y + 9$ .

$65 + 14 \sqrt{y + 16} + y = 15 y + 9$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $14 \sqrt{y + 16}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $65$ de ambos lados de la ecuación.

$14 \sqrt{y + 16} + y = 15 y + 9 - 65$

Paso 4.2.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$14 \sqrt{y + 16} = 15 y + 9 - 65 - y$

Paso 4.2.3

Resta $y$ de $15 y$ .

$14 \sqrt{y + 16} = 14 y + 9 - 65$

Paso 4.2.4

Resta $65$ de $9$ .

$14 \sqrt{y + 16} = 14 y - 56$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(14 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 16}$ como ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(14 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(14 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $14 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$14^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $14$ a la potencia de $2$ .

$196 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$196 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$196 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$196 {(y + 16)}^{1} = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$196 (y + 16) = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$196 y + 196 \cdot 16 = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $196$ por $16$ .

$196 y + 3136 = {(14 y - 56)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(14 y - 56)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(14 y - 56)}^{2}$ como $(14 y - 56) (14 y - 56)$ .

$196 y + 3136 = (14 y - 56) (14 y - 56)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(14 y - 56) (14 y - 56)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$196 y + 3136 = 14 y (14 y - 56) - 56 (14 y - 56)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$196 y + 3136 = 14 y (14 y) + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y - 56)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$196 y + 3136 = 14 y (14 y) + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$196 y + 3136 = 14 \cdot 14 y \cdot y + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$196 y + 3136 = 14 \cdot 14 (y \cdot y) + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$196 y + 3136 = 14 \cdot 14 y^{2} + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $14$ por $14$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} + 14 y \cdot - 56 - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $- 56$ por $14$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 784 y - 56 (14 y) - 56 \cdot - 56$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $14$ por $- 56$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 784 y - 784 y - 56 \cdot - 56$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $- 56$ por $- 56$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 784 y - 784 y + 3136$

Paso 6.3.1.3.2

Resta $784 y$ de $- 784 y$ .

$196 y + 3136 = 196 y^{2} - 1568 y + 3136$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$196 y^{2} - 1568 y + 3136 = 196 y + 3136$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Resta $196 y$ de ambos lados de la ecuación.

$196 y^{2} - 1568 y + 3136 - 196 y = 3136$

Paso 7.2.2

Resta $196 y$ de $- 1568 y$ .

$196 y^{2} - 1764 y + 3136 = 3136$

Paso 7.3

Resta $3136$ de ambos lados de la ecuación.

$196 y^{2} - 1764 y + 3136 - 3136 = 0$

Paso 7.4

Combina los términos opuestos en $196 y^{2} - 1764 y + 3136 - 3136$ .

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Paso 7.4.1

Resta $3136$ de $3136$ .

$196 y^{2} - 1764 y + 0 = 0$

Paso 7.4.2

Suma $196 y^{2} - 1764 y$ y $0$ .

$196 y^{2} - 1764 y = 0$

Paso 7.5

Factoriza $196 y$ de $196 y^{2} - 1764 y$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $196 y$ de $196 y^{2}$ .

$196 y (y) - 1764 y = 0$

Paso 7.5.2

Factoriza $196 y$ de $- 1764 y$ .

$196 y (y) + 196 y (- 9) = 0$

Paso 7.5.3

Factoriza $196 y$ de $196 y (y) + 196 y (- 9)$ .

$196 y (y - 9) = 0$

Paso 7.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Paso 7.7

Establece $y$ igual a $0$ .

$y = 0$

Paso 7.8

Establece $y - 9$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.8.1

Establece $y - 9$ igual a $0$ .

$y - 9 = 0$

Paso 7.8.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 9$

Paso 7.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $196 y (y - 9) = 0$ verdadera.

$y = 0, 9$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{15 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 7$ sea verdadera.

$y = 9$