Matemática básica Ejemplos

$\sqrt{y^{2} - 1} = 1 + y$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y^{2} - 1}}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{2} - 1}$ como ${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + y)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + y)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y^{2} - 1)}^{1} = {(1 + y)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$y^{2} - 1 = {(1 + y)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(1 + y)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(1 + y)}^{2}$ como $(1 + y) (1 + y)$ .

$y^{2} - 1 = (1 + y) (1 + y)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(1 + y) (1 + y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 1 = 1 (1 + y) + y (1 + y)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y (1 + y)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 1 = 1 \cdot 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 1 y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y \cdot 1 + y \cdot y$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y \cdot y$

Paso 2.3.1.3.1.4

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + y + y + y^{2}$

Paso 2.3.1.3.2

Suma $y$ y $y$ .

$y^{2} - 1 = 1 + 2 y + y^{2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$1 + 2 y + y^{2} = y^{2} - 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$1 + 2 y + y^{2} - y^{2} = - 1$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $1 + 2 y + y^{2} - y^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$1 + 2 y + 0 = - 1$

Paso 3.2.2.2

Suma $1 + 2 y$ y $0$ .

$1 + 2 y = - 1$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = - 1 - 1$

Paso 3.3.2

Resta $1$ de $- 1$ .

$2 y = - 2$

Paso 3.4

Divide cada término en $2 y = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $2 y = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$y = - 1$