Matemática básica Ejemplos

$r^{2} + \frac{1}{2} r + \frac{1}{16} = \frac{10}{16}$

Paso 1

Combina $\frac{1}{2}$ y $r$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16}$

Paso 2

Cancela el factor común de $10$ y $16$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{2 (5)}{16}$

Paso 2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 8}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 8}$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} = \frac{5}{8}$

Paso 3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1

Resta $\frac{5}{8}$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5}{8} = 0$

Paso 3.2

Simplifica $r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5}{8}$ .

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Paso 3.2.1

Para escribir $- \frac{5}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Paso 3.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\frac{5}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = 0$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $8$ por $2$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1}{16} - \frac{5 \cdot 2}{16} = 0$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1 - 5 \cdot 2}{16} = 0$

Paso 3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{1 - 10}{16} = 0$

Paso 3.2.4.2

Resta $10$ de $1$ .

$r^{2} + \frac{r}{2} + \frac{- 9}{16} = 0$

Paso 3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r^{2} + \frac{r}{2} - \frac{9}{16} = 0$

Paso 4

Multiplica por el mínimo común denominador $16$ , luego simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$16 r^{2} + 16 (\frac{r}{2}) + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$16 r^{2} + 2 (8) (\frac{r}{2}) + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$16 r^{2} + 2 \cdot (8 (\frac{r}{2})) + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$16 r^{2} + 8 r + 16 (- \frac{9}{16}) = 0$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 4.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{9}{16}$ al numerador.

$16 r^{2} + 8 r + 16 (\frac{- 9}{16}) = 0$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$16 r^{2} + 8 r + 16 (\frac{- 9}{16}) = 0$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$16 r^{2} + 8 r - 9 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 8$ y $c = - 9$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (16 \cdot - 9)}}{2 \cdot 16}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 16 \cdot - 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot - 9$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64 \cdot - 9}}{2 \cdot 16}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $- 9$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 576}}{2 \cdot 16}$

Paso 7.1.3

Suma $64$ y $576$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 16}$

Paso 7.1.4

Reescribe $640$ como $8^{2} \cdot 10$ .

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Paso 7.1.4.1

Factoriza $64$ de $640$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 (10)}}{2 \cdot 16}$

Paso 7.1.4.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$r = \frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 16}$

Paso 7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 8 \pm 8 \sqrt{10}}{2 \cdot 16}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$r = \frac{- 8 \pm 8 \sqrt{10}}{32}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 8 \pm 8 \sqrt{10}}{32}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{10}}{4}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - \frac{1 - \sqrt{10}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{10}}{4}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$r = - \frac{1 - \sqrt{10}}{4}, - \frac{1 + \sqrt{10}}{4}$

Forma decimal:

$r = 0.54056941 \dots, - 1.04056941 \dots$