Matemática básica Ejemplos

$p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $- 4^{4} \sqrt{p}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $p$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4^{4} \sqrt{p} - 5 = - p$

Paso 1.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4^{4} \sqrt{p} = - p + 5$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 4^{4} \sqrt{p})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{p}$ como $p^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${(- 4^{4} p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

${(- 1 \cdot 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $256$ .

${(- 256 p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $- 256 p^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 256)}^{2} {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.4

Eleva $- 256$ a la potencia de $2$ .

$65536 {(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.5

Multiplica los exponentes en ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.5.2.1

Cancela el factor común.

$65536 p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$65536 p^{1} = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.2.1.6

Simplifica.

$65536 p = {(- p + 5)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(- p + 5)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(- p + 5)}^{2}$ como $(- p + 5) (- p + 5)$ .

$65536 p = (- p + 5) (- p + 5)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(- p + 5) (- p + 5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$65536 p = - p (- p + 5) + 5 (- p + 5)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p + 5)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$65536 p = - p (- p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p \cdot p - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $p$ por $p$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 (p \cdot p) - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $p$ por $p$ .

$65536 p = - 1 \cdot - 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$65536 p = 1 p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $p^{2}$ por $1$ .

$65536 p = p^{2} - p \cdot 5 + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p + 5 (- p) + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 5 \cdot 5$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $5$ por $5$ .

$65536 p = p^{2} - 5 p - 5 p + 25$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $5 p$ de $- 5 p$ .

$65536 p = p^{2} - 10 p + 25$

Paso 4

Resuelve $p$

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Paso 4.1

Como $p$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$p^{2} - 10 p + 25 = 65536 p$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $p$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $65536 p$ de ambos lados de la ecuación.

$p^{2} - 10 p + 25 - 65536 p = 0$

Paso 4.2.2

Resta $65536 p$ de $- 10 p$ .

$p^{2} - 65546 p + 25 = 0$

Paso 4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 65546$ y $c = 25$ en la fórmula cuadrática y resuelve $p$ .

$\frac{65546 \pm \sqrt{{(- 65546)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1.1

Eleva $- 65546$ a la potencia de $2$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

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Paso 4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278116 - 100}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.3

Resta $100$ de $4296278116$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{4296278016}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4

Reescribe $4296278016$ como $1536^{2} \cdot 1821$ .

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Paso 4.5.1.4.1

Factoriza $2359296$ de $4296278016$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{2359296 (1821)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.4.2

Reescribe $2359296$ como $1536^{2}$ .

$p = \frac{65546 \pm \sqrt{1536^{2} \cdot 1821}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$p = \frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$

Paso 4.5.3

Simplifica $\frac{65546 \pm 1536 \sqrt{1821}}{2}$ .

$p = 32773 \pm 768 \sqrt{1821}$

Paso 4.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}, 32773 - 768 \sqrt{1821}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $p - 4^{4} \sqrt{p} - 5 = 0$ sea verdadera.

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$p = 32773 + 768 \sqrt{1821}$

Forma decimal:

$p = 65545.99961858 \dots$