Matemática básica Ejemplos

$\log (y) + \log (y - 9) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (y (y - 9)) = 1$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (y \cdot y + y \cdot - 9) = 1$

Paso 1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\log (y^{2} + y \cdot - 9) = 1$

Paso 1.3.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $y$ .

$\log (y^{2} - 9 y) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log (y^{2} - 9 y) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = y^{2} - 9 y$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} - 9 y = 10^{1}$ .

$y^{2} - 9 y = 10$

Paso 3.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 9 y - 10 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $y^{2} - 9 y - 10$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 10, 1$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(y - 10) (y + 1) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 10 = 0$

$y + 1 = 0$

Paso 3.5

Establece $y - 10$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.5.1

Establece $y - 10$ igual a $0$ .

$y - 10 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 10$

Paso 3.6

Establece $y + 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.6.1

Establece $y + 1$ igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 1$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 10) (y + 1) = 0$ verdadera.

$y = 10, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log (y) + \log (y - 9) = 1$ sea verdadera.

$y = 10$