Matemática básica Ejemplos

$8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ de $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ de $8 y^{2} {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}} = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ de ${(y^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} = 0$

Paso 1.1.3

Factoriza ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ de ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2}) + {(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + {(y^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}}) = 0$

Paso 1.2

Divide $3$ por $3$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Paso 1.3

Simplifica.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (8 y^{2} + y^{2} - 4) = 0$

Paso 1.4

Suma $8 y^{2}$ y $y^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (9 y^{2} - 4) = 0$

Paso 1.5

Factoriza.

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Paso 1.5.1

Reescribe $9 y^{2} - 4$ en forma factorizada.

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Paso 1.5.1.1

Reescribe $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 4) = 0$

Paso 1.5.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 1.5.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 y$ y $b = 2$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} ((3 y + 2) (3 y - 2)) = 0$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

$3 y + 2 = 0$

$3 y - 2 = 0$

Paso 3

Establece ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Establece ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ igual a $0$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$

Paso 3.2

Resuelve ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} = 0$ en $y$ .

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Paso 3.2.1

Establece $y^{2} - 4$ igual a $0$ .

$y^{2} - 4 = 0$

Paso 3.2.2

Resuelve $y$

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Paso 3.2.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = 4$

Paso 3.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4}$

Paso 3.2.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 3.2.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 3.2.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 2$

Paso 3.2.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 2$

Paso 3.2.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 2$

Paso 3.2.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 2, - 2$

Paso 4

Establece $3 y + 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Establece $3 y + 2$ igual a $0$ .

$3 y + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $3 y + 2 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = - 2$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $3 y = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $3 y = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{3}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{2}{3}$

Paso 5

Establece $3 y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.1

Establece $3 y - 2$ igual a $0$ .

$3 y - 2 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 y - 2 = 0$ en $y$ .

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Paso 5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = 2$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 y = 2$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{3}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 y + 2) (3 y - 2) = 0$ verdadera.

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = 2, - 2, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Forma decimal:

$y = 2, - 2, - 0.\overline{6}, 0.\overline{6}$