Matemática básica Ejemplos

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Paso 1

Simplifica $0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 + 0 + 0 {(y - \frac{1}{3})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(y - \frac{1}{3})}^{2}$ como $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 ((y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3}))$

Paso 1.3

Expande $(y - \frac{1}{3}) (y - \frac{1}{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y (y - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (y - \frac{1}{3}))$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y \cdot y + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + y (- \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Paso 1.4.1.2

Combina $y$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} y - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Paso 1.4.1.3

Combina $y$ y $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}))$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 1.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3})$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})$

Paso 1.4.1.4.3

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3})$

Paso 1.4.1.4.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{y}{3} - \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Paso 1.4.2

Resta $\frac{y}{3}$ de $- \frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - 2 \frac{y}{3} + \frac{1}{9})$

Paso 1.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1

Combina $- 2$ y $\frac{y}{3}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Paso 1.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0 (y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9})$

Paso 1.6

Multiplica $0$ por $y^{2} - \frac{2 y}{3} + \frac{1}{9}$ .

$3 y^{2} - 2 y + 7 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 2$ y $c = 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $7$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 84}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.3

Resta $84$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.4

Reescribe $- 80$ como $- 1 (80)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (80)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7

Reescribe $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $16$ de $80$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.7.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 3}$

Paso 4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 4 i \sqrt{5}}{6}$ .

$y = \frac{1 \pm 2 i \sqrt{5}}{3}$

Paso 5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{1 + 2 i \sqrt{5}}{3}, \frac{1 - 2 i \sqrt{5}}{3}$