Matemática básica Ejemplos

$3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt{y^{2} - 3 y + 6} = 3 y - 4$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ como ${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 4)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y^{2} - 3 y + 6)}^{1} = {(3 y - 4)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$y^{2} - 3 y + 6 = {(3 y - 4)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(3 y - 4)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(3 y - 4)}^{2}$ como $(3 y - 4) (3 y - 4)$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = (3 y - 4) (3 y - 4)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(3 y - 4) (3 y - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y - 4) - 4 (3 y - 4)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y - 4)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 4 - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 4 (3 y) - 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y - 4 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.3.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 12 y - 12 y + 16$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $12 y$ de $- 12 y$ .

$y^{2} - 3 y + 6 = 9 y^{2} - 24 y + 16$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $9 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} = - 24 y + 16$

Paso 4.1.2

Suma $24 y$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 3 y + 6 - 9 y^{2} + 24 y = 16$

Paso 4.1.3

Resta $9 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 8 y^{2} - 3 y + 6 + 24 y = 16$

Paso 4.1.4

Suma $- 3 y$ y $24 y$ .

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 = 16$

Paso 4.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 y^{2} + 21 y + 6 - 16 = 0$

Paso 4.3

Resta $16$ de $6$ .

$- 8 y^{2} + 21 y - 10 = 0$

Paso 4.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Factoriza $- 1$ de $- 8 y^{2} + 21 y - 10$ .

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Paso 4.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 8 y^{2}$ .

$- (8 y^{2}) + 21 y - 10 = 0$

Paso 4.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $21 y$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 10 = 0$

Paso 4.4.1.3

Reescribe $- 10$ como $- 1 (10)$ .

$- (8 y^{2}) - (- 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Paso 4.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (8 y^{2}) - (- 21 y)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y) - 1 \cdot 10 = 0$

Paso 4.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (8 y^{2} - 21 y) - 1 (10)$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Paso 4.4.2

Factoriza.

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Paso 4.4.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.4.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 10 = 80$ y cuya suma es $b = - 21$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Factoriza $- 21$ de $- 21 y$ .

$- (8 y^{2} - 21 y + 10) = 0$

Paso 4.4.2.1.1.2

Reescribe $- 21$ como $- 5$ más $- 16$

$- (8 y^{2} + (- 5 - 16) y + 10) = 0$

Paso 4.4.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (8 y^{2} - 5 y - 16 y + 10) = 0$

Paso 4.4.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.4.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((8 y^{2} - 5 y) - 16 y + 10) = 0$

Paso 4.4.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (y (8 y - 5) - 2 (8 y - 5)) = 0$

Paso 4.4.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $8 y - 5$ .

$- ((8 y - 5) (y - 2)) = 0$

Paso 4.4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (8 y - 5) (y - 2) = 0$

Paso 4.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$8 y - 5 = 0$

$y - 2 = 0$

Paso 4.6

Establece $8 y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.6.1

Establece $8 y - 5$ igual a $0$ .

$8 y - 5 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $8 y - 5 = 0$ en $y$ .

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Paso 4.6.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y = 5$

Paso 4.6.2.2

Divide cada término en $8 y = 5$ por $8$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.2.1

Divide cada término en $8 y = 5$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Paso 4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{5}{8}$

Paso 4.6.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5}{8}$

Paso 4.7

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 4.7.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 4.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (8 y - 5) (y - 2) = 0$ verdadera.

$y = \frac{5}{8}, 2$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $3 y - 4 = \sqrt{y^{2} - 3 y + 6}$ sea verdadera.

$y = 2$