Matemática básica Ejemplos

$z^{- 4} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 z^{- 2} - 4 = 0$

Paso 1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} - 3 \frac{1}{z^{2}} - 4 = 0$

Paso 1.3

Combina $- 3$ y $\frac{1}{z^{2}}$ .

$\frac{1}{z^{4}} + \frac{- 3}{z^{2}} - 4 = 0$

Paso 1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$z^{4}, z^{2}, 1, 1$

Paso 2.2

Since $z^{4}, z^{2}, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $z^{4}, z^{2}$ .

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 2.6

Los factores para $z^{4}$ son $z \cdot z \cdot z \cdot z$ , que es $z$ multiplicada una por la otra $4$ veces.

$z^{4} = z \cdot z \cdot z \cdot z$

$z$ ocurre $4$ veces.

Paso 2.7

Los factores para $z^{2}$ son $z \cdot z$ , que es $z$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$z^{2} = z \cdot z$

$z$ ocurre $2$ veces.

Paso 2.8

El MCM de $z^{4}, z^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$z \cdot z \cdot z \cdot z$

Paso 2.9

Simplifica $z \cdot z \cdot z \cdot z$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $z$ por $z$ .

$z^{2} \cdot z \cdot z$

Paso 2.9.2

Multiplica $z^{2}$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.2.1

Multiplica $z^{2}$ por $z$ .

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Paso 2.9.2.1.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$z^{2} \cdot z^{1} \cdot z$

Paso 2.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z^{2 + 1} \cdot z$

Paso 2.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$z^{3} \cdot z$

Paso 2.9.3

Multiplica $z^{3}$ por $z$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.3.1

Multiplica $z^{3}$ por $z$ .

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Paso 2.9.3.1.1

Eleva $z$ a la potencia de $1$ .

$z^{3} \cdot z^{1}$

Paso 2.9.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z^{3 + 1}$

Paso 2.9.3.2

Suma $3$ y $1$ .

$z^{4}$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ por $z^{4}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{z^{4}} - \frac{3}{z^{2}} - 4 = 0$ por $z^{4}$ .

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $z^{4}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{z^{4}} z^{4} - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Paso 3.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 - \frac{3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común de $z^{2}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{z^{2}}$ al numerador.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} z^{4} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Paso 3.2.1.2.2

Factoriza $z^{2}$ de $z^{4}$ .

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Paso 3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$1 + \frac{- 3}{z^{2}} (z^{2} z^{2}) - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Paso 3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0 z^{4}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica $0$ por $z^{4}$ .

$1 - 3 z^{2} - 4 z^{4} = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Sustituye $u = z^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$- 4 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

$u = z^{2}$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2} - 3 u + 1$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 3 u + 1 = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 u$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) + 1 = 0$

Paso 4.2.1.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2}) - (3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 4.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2}) - (3 u)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Paso 4.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 u^{2} + 3 u) - 1 (- 1)$ .

$- (4 u^{2} + 3 u - 1) = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$- (4 u^{2} + 3 (u) - 1) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$- (4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1) = 0$

Paso 4.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1) = 0$

Paso 4.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1)) = 0$

Paso 4.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$- ((4 u - 1) (u + 1)) = 0$

Paso 4.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (4 u - 1) (u + 1) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 4.4

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.4.1

Establece $4 u - 1$ igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $4 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 4.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 u = 1$

Paso 4.4.2.2

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.1

Divide cada término en $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Paso 4.5

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.5.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (4 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{4}, - 1$

Paso 4.7

Sustituye el valor real de $u = z^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$z^{2} = \frac{1}{4}$

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Paso 4.8

Resuelve la primera ecuación para $z$ .

$z^{2} = \frac{1}{4}$

Paso 4.9

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 4.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Paso 4.9.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 4.9.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Paso 4.9.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Paso 4.9.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.9.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$z = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 4.9.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$z = \pm \frac{1}{2}$

Paso 4.9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = \frac{1}{2}$

Paso 4.9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - \frac{1}{2}$

Paso 4.9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 4.10

Resuelve la segunda ecuación para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 1$

Paso 4.11

Resuelve la ecuación en $z$ .

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Paso 4.11.1

Elimina los paréntesis.

$z^{2} = - 1$

Paso 4.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 4.11.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i$

Paso 4.11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = i$

Paso 4.11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - i$

Paso 4.11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = i, - i$

Paso 4.12

La solución a $- 4 z^{4} - 3 z^{2} + 1 = 0$ es $z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ .

$z = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$