Matemática básica Ejemplos

$z^{4} + z^{3} + z^{2} + 3 z - 6 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reagrupa los términos.

$z^{3} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $z$ de $z^{3} + 3 z$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $z$ de $z^{3}$ .

$z \cdot z^{2} + 3 z + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $z$ de $3 z$ .

$z \cdot z^{2} + z \cdot 3 + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $z$ de $z \cdot z^{2} + z \cdot 3$ .

$z (z^{2} + 3) + z^{4} + z^{2} - 6 = 0$

Paso 1.3

Reescribe $z^{4}$ como ${(z^{2})}^{2}$ .

$z (z^{2} + 3) + {(z^{2})}^{2} + z^{2} - 6 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = z^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $z^{2}$ .

$z (z^{2} + 3) + u^{2} + u - 6 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $u^{2} + u - 6$ con el método AC.

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Paso 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $1$ .

$- 2, 3$

Paso 1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$z (z^{2} + 3) + (u - 2) (u + 3) = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z^{2}$ .

$z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

Paso 1.7

Factoriza $z^{2} + 3$ de $z (z^{2} + 3) + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $z^{2} + 3$ de $z (z^{2} + 3)$ .

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} - 2) (z^{2} + 3) = 0$

Paso 1.7.2

Factoriza $z^{2} + 3$ de $(z^{2} - 2) (z^{2} + 3)$ .

$(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2) = 0$

Paso 1.7.3

Factoriza $z^{2} + 3$ de $(z^{2} + 3) z + (z^{2} + 3) (z^{2} - 2)$ .

$(z^{2} + 3) (z + z^{2} - 2) = 0$

Paso 1.8

Sea $u = z$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $z$ .

$(z^{2} + 3) (u + u^{2} - 2) = 0$

Paso 1.9

Factoriza $u + u^{2} - 2$ con el método AC.

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Paso 1.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(z^{2} + 3) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

Paso 1.10

Factoriza.

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Paso 1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z$ .

$(z^{2} + 3) ((z - 1) (z + 2)) = 0$

Paso 1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$z^{2} + 3 = 0$

$z - 1 = 0$

$z + 2 = 0$

Paso 3

Establece $z^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 3.1

Establece $z^{2} + 3$ igual a $0$ .

$z^{2} + 3 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $z^{2} + 3 = 0$ en $z$ .

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Paso 3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$z^{2} = - 3$

Paso 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 3.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i \sqrt{3}$

Paso 3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = i \sqrt{3}$

Paso 3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - i \sqrt{3}$

Paso 3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 4

Establece $z - 1$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 4.1

Establece $z - 1$ igual a $0$ .

$z - 1 = 0$

Paso 4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$z = 1$

Paso 5

Establece $z + 2$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 5.1

Establece $z + 2$ igual a $0$ .

$z + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$z = - 2$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(z^{2} + 3) (z - 1) (z + 2) = 0$ verdadera.

$z = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}, 1, - 2$