Matemática básica Ejemplos

$\sqrt{4 z + 1} = 3 + \sqrt{4 z - 2}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{4 z + 1}}^{2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 z + 1}$ como ${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(4 z + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(4 z + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(4 z + 1)}^{1} = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(3 + \sqrt{4 z - 2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $4 z - 2$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $4 z$ .

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z) - 2})}^{2}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z) + 2 (- 1)})}^{2}$

Paso 2.3.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 z) + 2 (- 1)$ .

$4 z + 1 = {(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2}$

Paso 2.3.1.1.2

Reescribe ${(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$ .

$4 z + 1 = (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 z + 1 = 3 (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)}) + \sqrt{2 (2 z - 1)} (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 z + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} (3 + \sqrt{2 (2 z - 1)})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 z + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \cdot 3 + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \cdot 3 + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \cdot \sqrt{2 (2 z - 1)} + \sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{2 (2 z - 1)} \sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1} \sqrt{2 (2 z - 1)}$

Paso 2.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ a la potencia de $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1} {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{2 (2 z - 1)}}^{2}$ como $2 (2 z - 1)$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ como ${(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {({(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + {(2 (2 z - 1))}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 2 (2 z - 1)$

Paso 2.3.1.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 2 (2 z) + 2 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z + 2 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.3.1.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 z + 1 = 9 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z - 2$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $2$ de $9$ .

$4 z + 1 = 7 + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 3 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $3 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ y $3 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ .

$4 z + 1 = 7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z$

Paso 3

Resuelve $6 \sqrt{2 (2 z - 1)}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1$ .

$7 + 6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $6 \sqrt{2 (2 z - 1)}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} + 4 z = 4 z + 1 - 7$

Paso 3.2.2

Resta $4 z$ de ambos lados de la ecuación.

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 4 z + 1 - 7 - 4 z$

Paso 3.2.3

Combina los términos opuestos en $4 z + 1 - 7 - 4 z$ .

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Paso 3.2.3.1

Resta $4 z$ de $4 z$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 0 + 1 - 7$

Paso 3.2.3.2

Suma $0$ y $1$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = 1 - 7$

Paso 3.2.4

Resta $7$ de $1$ .

$6 \sqrt{2 (2 z - 1)} = - 6$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(6 \sqrt{2 (2 z - 1)})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (2 z - 1)}$ como ${(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(6 {(2 (2 z - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 {(2 (2 z) + 2 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

${(6 {(4 z + 2 \cdot - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(6 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.3

Aplica la regla del producto a $6 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 {({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.5

Multiplica los exponentes en ${({(4 z - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.2.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$36 {(4 z - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.2.5.2.2

Reescribe la expresión.

$36 {(4 z - 2)}^{1} = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Simplifica.

$36 (4 z - 2) = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$36 (4 z) + 36 \cdot - 2 = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica.

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Paso 5.2.1.5.1

Multiplica $4$ por $36$ .

$144 z + 36 \cdot - 2 = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.2.1.5.2

Multiplica $36$ por $- 2$ .

$144 z - 72 = {(- 6)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$144 z - 72 = 36$

Paso 6

Resuelve $z$

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Paso 6.1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1

Suma $72$ a ambos lados de la ecuación.

$144 z = 36 + 72$

Paso 6.1.2

Suma $36$ y $72$ .

$144 z = 108$

Paso 6.2

Divide cada término en $144 z = 108$ por $144$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $144 z = 108$ por $144$ .

$\frac{144 z}{144} = \frac{108}{144}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $144$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{144 z}{144} = \frac{108}{144}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{108}{144}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $108$ y $144$ .

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Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $36$ de $108$ .

$z = \frac{36 (3)}{144}$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $36$ de $144$ .

$z = \frac{36 \cdot 3}{36 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$z = \frac{36 \cdot 3}{36 \cdot 4}$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$z = \frac{3}{4}$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{4 z + 1} = 3 + \sqrt{4 z - 2}$ sea verdadera.

$No hay solución$