Matemática básica Ejemplos

$2 z + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $z$ como ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$2 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Paso 1.2

Sea $u = z^{\frac{1}{2}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $z^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Paso 1.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ y cuya suma es $b = 3$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $3$ de $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $3$ como $- 1$ más $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Paso 1.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 u^{2} - 1 u) + 4 u - 2 = 0$

Paso 1.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Paso 1.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $z^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 z^{\frac{1}{2}} - 1) (z^{\frac{1}{2}} + 2) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

$z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Paso 3

Establece $2 z^{\frac{1}{2}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 3.1

Establece $2 z^{\frac{1}{2}} - 1$ igual a $0$ .

$2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $2 z^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ en $z$ .

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Paso 3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 z^{\frac{1}{2}} = 1$

Paso 3.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(2 z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Simplifica ${(2 z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 z^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.3

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 z^{1} = 1^{2}$

Paso 3.2.3.1.1.4

Simplifica.

$4 z = 1^{2}$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 z = 1$

Paso 3.2.4

Divide cada término en $4 z = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.2.4.1

Divide cada término en $4 z = 1$ por $4$ .

$\frac{4 z}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 z}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{1}{4}$

Paso 4

Establece $z^{\frac{1}{2}} + 2$ igual a $0$ y resuelve $z$ .

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Paso 4.1

Establece $z^{\frac{1}{2}} + 2$ igual a $0$ .

$z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $z^{\frac{1}{2}} + 2 = 0$ en $z$ .

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Paso 4.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$z^{\frac{1}{2}} = - 2$

Paso 4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(z^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.1.1

Simplifica ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(z^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$z^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$z^{1} = {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$z = {(- 2)}^{2}$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$z = 4$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 z^{\frac{1}{2}} - 1) (z^{\frac{1}{2}} + 2) = 0$ verdadera.

$z = \frac{1}{4}, 4$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $2 z + 3 z^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ sea verdadera.

$z = \frac{1}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$z = \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$z = 0.25$