Matemática básica Ejemplos

$5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$

Paso 1

Sustituye $u = z^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$5 u^{2} + 16 u - 45 = 0$

$u = z^{2}$

Paso 2

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 5 \cdot - 45 = - 225$ y cuya suma es $b = 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Factoriza $16$ de $16 u$ .

$5 u^{2} + 16 (u) - 45 = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $16$ como $- 9$ más $25$

$5 u^{2} + (- 9 + 25) u - 45 = 0$

Paso 2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 u^{2} - 9 u + 25 u - 45 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(5 u^{2} - 9 u) + 25 u - 45 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (5 u - 9) + 5 (5 u - 9) = 0$

Paso 2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 u - 9$ .

$(5 u - 9) (u + 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$5 u - 9 = 0$

$u + 5 = 0$

Paso 4

Establece $5 u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece $5 u - 9$ igual a $0$ .

$5 u - 9 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $5 u - 9 = 0$ en $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$5 u = 9$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $5 u = 9$ por $5$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $5 u = 9$ por $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 u}{5} = \frac{9}{5}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{9}{5}$

Paso 5

Establece $u + 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Establece $u + 5$ igual a $0$ .

$u + 5 = 0$

Paso 5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 5$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(5 u - 9) (u + 5) = 0$ verdadera.

$u = \frac{9}{5}, - 5$

Paso 7

Sustituye el valor real de $u = z^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$z^{2} = \frac{9}{5}$

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Paso 8

Resuelve la primera ecuación para $z$ .

$z^{2} = \frac{9}{5}$

Paso 9

Resuelve la ecuación en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{\frac{9}{5}}$

Paso 9.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{9}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{9}{5}}$ como $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt{3^{2}}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Paso 9.2.3

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Paso 9.2.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.4.1

Multiplica $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Paso 9.2.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Paso 9.2.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Paso 9.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Paso 9.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Paso 9.2.4.6

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 9.2.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 9.2.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Paso 9.2.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Paso 9.2.4.6.5

Evalúa el exponente.

$z = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 9.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Paso 10

Resuelve la segunda ecuación para $z$ .

${(z^{2})}^{1} = - 5$

Paso 11

Resuelve la ecuación en $z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Elimina los paréntesis.

$z^{2} = - 5$

Paso 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 5}$

Paso 11.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$z = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Paso 11.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Paso 11.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \pm i \sqrt{5}$

Paso 11.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$z = i \sqrt{5}$

Paso 11.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$z = - i \sqrt{5}$

Paso 11.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$z = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Paso 12

La solución a $5 z^{4} + 16 z^{2} - 45 = 0$ es $z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$ .

$z = \frac{3 \sqrt{5}}{5}, - \frac{3 \sqrt{5}}{5}, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$