Matemática básica Ejemplos

$a^{2} + y^{2} + 2 a + 2 y - 7 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = a^{2} + 2 a - 7$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (a^{2} + 2 a - 7))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (a^{2} + 2 a - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (a^{2} + 2 a - 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 a^{2} - 4 (2 a) - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 a^{2} - 8 a - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 7$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 a^{2} - 8 a + 28}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Suma $4$ y $28$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4 a^{2} - 8 a + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Reescribe $- 4 a^{2} - 8 a + 32$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 a^{2} - 8 a + 32$ .

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Paso 3.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 a^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2}) - 8 a + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 8 a$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2}) + 4 (- 2 a) + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $32$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2}) + 4 (- 2 a) + 4 (8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- a^{2}) + 4 (- 2 a)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} - 2 a) + 4 (8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- a^{2} - 2 a) + 4 (8)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} - 2 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ y cuya suma es $b = - 2$ .

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Paso 3.1.6.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 a$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} - 2 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.2

Reescribe $- 2$ como $2$ más $- 4$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} + (2 - 4) a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a^{2} + 2 a - 4 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- a^{2} + 2 a) - 4 a + 8)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (a (- a + 2) + 4 (- a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- a + 2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 ((- a + 2) (a + 4))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (- a + 2) (a + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Reescribe $4 (- a + 2) (a + 4)$ como $2^{2} ((- a + 2) (a + 2^{2}))$ .

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Paso 3.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- a + 2) (a + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (- a + 2) (a + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} ((- a + 2) (a + 2^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}}{2}$ .

$y = - 1 \pm \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}$

Paso 4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 1 + \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}$

$y = - 1 - \sqrt{(- a + 2) (a + 4)}$